广西贵港市2020届高三毕业班第四次高考模拟理科数学试题答案 4页

第 1 页 共 4 页 2020 届高中毕业班第四次模拟考试 理科数学答案提示 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．由( 4)( 1) 0xx   得 14x   ， AB{0 ,1, 2}，选 ()D 2．由 2z a i 在复平面上位于第四象限知 0a  ，由| | 5z  得 2 45a ， 1a，选 ()C 3．由直方图知优秀人数为(0.006 0.010) 10 50 8    ，所以任取两人成绩均为优秀的概率为 2 8 2 50 8 7 4 50 49 175 CP C    ，选 ()B 4．取 ( 2 , 0)F ， (0 , 2 )P ，则 PF 的方程为 20xy   ， 2 1 11 R    ，选 5．二项式 (1 )nx 展开式中系数最大的项为中间项，所以二项式 展开式中共有 9 项， 8n， 2 2 2 38 28T C x x，所以 2x 项的系数为 28，选 ()A 6．由正视图和侧视图知三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱，所以四个图都可能作 为俯视图，选 ()D 7． 11//EF B D ， 11//BD B D ， //BD EF ，即③正确；由③知 BE 与 DF 共面，所以直线 与 直线 DF 相交，即①正确，选 ()A 8． ( ) 2cos 2sin 2 2 sin( )4y f x PA PB x x x        ，图象 ()D 符合 ()fx，选 9．如图，以 A 坐标原点建立坐标系，则 (3 , 0)B ， (0 , 2)C ， (2 , 0)E ， (0 ,1)F ，所以直线CE 的方程为 20xy   ，直线 BF 的方程为 3 3 0xy   ， 解 20 3 3 0 xy xy       得 3 2 1 2 x y     ， 31( , )22AG ， (3 , 0)AB  ， 9 3 102cos , 105 32 AG AB     ，选 ()B 10． 2 ( ) ( ) ( )( ) 0f x xf x f x x x   ， ()fx x 在(0 , ) 上是增函数，又 ( 1) 0f ，所以 (1) 0f  ，所以当 (0 ,1)x 时， ( ) 0fx ，当 (1, )x   时， ( ) 0fx ， 2 1(log ) ( 2) (2) 04a f f f       ， 1.5 1.53 2 1， 1.5 1.5(3 ) (2 ) 0b f f c     ，选 ()A 11．如图，设双曲线的左焦点为 1F ，则||PF c ， 1| | 2F F c ， 1| | 5PF c， 1| | | | ( 5 1) 2PF PF c a     ， 2 5 1 251 ce a      ，选 ()C O x y F F P 第 11 题 M 1 A x y F C 第 9 题 G E B 第 2 页 共 4 页 12． 2 2 2 2 cos 13 12cosAB AD BD AD BD ADB ADB         ， 2 2 2 2 cos 13 12cosAC AD CD AD CD ADC ADC         ， 2226AB AC   ， 又 2 2 2 2 cos 26 16BC AB AC AB AC BAC AB AC          ， 10AB AC   ， 2 2 2( ) 2 26 20 46AB AC AB AC AB AC         ，所以 ABC 的周长为 46 4AB AC BC    ，选 ()A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在题中的横线上． 13． 2 2sin cos 2tan 4sin 2 2sin cos 151 tan            ． 14． 1y x  ，所以在 1( , 1)e  处的切线方程为 11 e( ) e 1ey x x     ，令 0x  得 2y  ，即在 y 轴 上的截距为 2 ． 15．依题意得 23 5log log 2 52ab    ， 2 23(log )(log ) ( 6 ) 6ab，所以 2log a ， 3log b 为方程 2 5 6 0xx   的两根， 2log 2a， 3log 3b  或 2log 3a  ， 3log 2b  ， 4 27 31ab     或 8 9 17ab    ，应填：31 或 17． 16．如图，由 2 2 2AB AC BC得 90ACB   ，所以 ABC 的外接圆的圆心在 AB 的中点G 上，所以OG 平面 ABC ，当 D 、 O 、G 三点共线时，三棱 锥 D ABC 体积的最大，由 1 1 3133 2 3V DG      得 2DG  ，设球的 半径为 R ，则 221 (2 )RR   ，即 5 4R  ，所以球O 的表面积为 2 254 4SR ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设公差为 d ，公比为 q ， 则由 1 3 1 4 5 1 2 2 6 2 7 16 a a a d a a a d         得 1 2 1 d a   ， …………………………………………2 分 1 ( 1) 2 2 1na n n       ， …………………………………………3 分 由 2 1 2 3 17b b b q q      得 2q  或 3q  （舍去），……………………………………5 分 111 2 2nn nb     ； …………………………………………6 分 （2） 1 22 1 log 2 3 2n n n nc a b n n       ， …………………………………………9 分 (1 3 2) (3 1) 22n n n n nS      ． …………………………………………12 分 18．（1）由直三棱柱 1 1 1ABC A B C 得 1CC 平面 ABC ，………………………………………1 分 1C C AC， 1C C BC ， AP BP， …………………………………………2 分 又 60APB  ， AP BP AB   ， …………………………………………3 分 又 90ACB   ， 2AP AB AC   ， ……………………………5 分 11 11 22PC AC AA CC    ，即 P 是 1CC 的中点；…………………6 分 （2）如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz ， 设 2AC  ，则 (2 , 0 , 0)A ， (0 , 2 , 0)B ， (0 , 0 , 3)P ，………………7 分 ( 2 , 2 , 0)AB   ， ( 2 , 0 , 3)AP  ， ……………………………8 分 第 18 题 A B C z y A B C x 1 1 1 P 第 16 题 O A B D C G R 第 3 页 共 4 页 设平面 BAP 的法向量为 ( , , )x y zn ， 则由 0 0 AB AP    n n 得 2 2 0 2 3 0 xy xz       ， 令 3x  得 3y  ， 2z  ， (3 , 3 , 2)n ， …………………………………………10 分 又平面CAP 的法向量为 (0 ,1, 0)m ， …………………………………………11 分 3 3 22cos , | || | 2222 1       nmnm nm ， 所以二面角 B AP C的余弦值为 3 22 22 ． …………………………………………12 分 19．解：（1）由 5 1 15i i x   ， 5 1 80i i y   ，可得 3x  ， 16y  ，…………………………………2 分 所以 5 1 5 22 1 5 5 ii i i i x y x y b xx      210 5 3 16 355 5 9      ，则 a y bx 16 3 3 25    ，………………4 分 所以模型②中 y 关于 x 的回归方程为 3 25yx   ．………………………………………6 分 （2）因为 5522 11 5.80 0.66 ( ) ( )ii ii y y y y    ， …………………………………………8 分 所以模型①的 2R 小于模型②，说明回归方程②刻画的拟合效果更好， ………………10 分 选择模型②，当 6x  时， 3 6 25 7y      ， …………………………………………11 分 所以预测 2014 年成立的企业中倒闭企业所占比例为 7% ．………………………………12 分 20．解：（1） 22( ) 2a x ax af x x axx      ， 0x  ， ………………………………………1 分 ①当 0a  时， 220x ax a   ，即 ( ) 0fx  ，所以 ()fx在(0 , ) 上是增函数； ……2 分 ②当 0a  时，令 220x ax a   ，则 2 8 ( 8) 0a a a a      ， 2 1 8 04 a a ax      ， 2 2 8 04 a a ax   ， ………………………………………3 分 所以 2 80 4 a a ax    时， ( ) 0fx  ， 2 8 4 a a ax    时， ， 所以 在 2 8(0 , )4 a a a   上是减函数，在 2 8( , )4 a a a    上是增函数；……5 分 （2）由 存在极值知 0a  ， …………………………………………6 分 “对于任意 (0 , )x   ，都有 ( ) 0fx 恒成立”等价于 “对于任意 ，都有 2 ln 1xx ax   恒成立”，……………………………………7 分 设 22 ln ln 1() x x xgx xxx    ， ，则 3 1 2ln() xxgx x   ， ， ……………………8 分 设 ( ) 1 2lnh x x x   ， ，则 2( ) 1 0hx x     ， ， 所以 ()hx在 (0 , ) 上是减函数， …………………………………………9 分 第 4 页 共 4 页 又 (1) 0h  ，所以 01x时， ( ) 0gx  ， 1x  时， ( ) 0gx  ， 所以 ()gx在 (0 ,1) 上是增函数， ()gx在 (1, ) 上是减函数，…………………………10 分 ( ) (1) 1g x g， 11 a   ， 10a    ． …………………………………………12 分 21．解：（1）把 2 2y px 代入 3( )2 pyx得 211 0223 pyyp    ，…………………………1 分 2 3AB pyy   ， 2 ABy y p ， …………………………………………2 分 21| | 1 ( ) 43 A B A BAB y y y y      2 2484 483 3 3 ppp     ，……………………3 分 3p，所以抛物线C 的方程为 2 6yx ； …………………………………………4 分 （2）设直线 l 的方程为 2x my， Rm ， ( 2 , )Pt ， 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，………5 分 把 代入 得 2 6 12 0y my   ， …………………………………………6 分 126y y m   ， 12 12yy  ， …………………………………………7 分 1 2 1 2 13 1 2 1 22 2 4 4 y t y t y t y tkk x x my my             1 2 2 1 12 ( )( 4) ( )( 4) ( 4)( 4) y t my y t my my my       1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 (4 )( ) 8 4 ( ) 16 my y tm y y t m y y m y y        2 t ， …………………………………………10 分 2 0 2 2 4 2 t t tk        ， …………………………………………11 分 2，所以  为定值 2． …………………………………………12 分 22．解：（1）由 2sin 2cos  得 2 2 sin 2 cos    ，…………………………………2 分 把 cosx  ， siny  代入得 222 2 0x y x y    ，……………………………………4 分 即 2C 的直角坐标方程 ； …………………………………………5 分 （2）当 3 4   时，曲线 1 21 2: 2 2 xt C yt      （ t 为参数）， ……………………………………6 分 代入 得 2 3 2 3 0tt   ， 1232tt   ， 12 3tt  ， ………………8 分 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 18 12 6AB t t t t t t         ． ……………………………………10 分 23．解：（1）不等式可化为| 2 | | 1| 7xx    ， …………………………………………1 分 当 2x  时， 2 1 7xx     ， 4x   ； …………………………………………2 分 当 21x   时， 2 1 7xx    ，无解； …………………………………………3 分 当 1x  时， 2 1 7xx    ， 3x． …………………………………………4 分 不等式的解集为{ | 4 3}x x x  或 ． …………………………………………5 分 （2） ( ) | | | |f x x a x b c     | ( ) |x a x b    5abc    ，…………………………7 分 2 2 2 2 2 2a b a c b c c b a      2 2 2ab ac bc c b a   …………………………………………8 分 ( ) ( ) ( )b c a c a ba b cc b c a b a      2( ) 10abc    ．………………………………………10 分