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- 2021-06-10 发布
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第1讲 平面向量的概念及线性运算
[基础题组练]
1.向量e1,e2,a,b在正方形网格中的位置如图所示,则a-b=( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
解析:选C.结合图形易得,a=-e1-4e2,b=-2e1-e2,故a-b=e1-3e2.
2.已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
解析:选C.由++=,得++=-,即=-2,故点P在线段AC上.
3.(2020·江西南昌模拟)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )
A.-2 B.-
C.- D.
解析:选A.=+=+=-+=AB-,所以λ=1,μ=-,因此=-2.
4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.设=y,因为=+=+y=+y(-)=-y+(1+y).
因为=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),
所以y∈,
因为=x+(1-x),
所以x=-y,所以x∈.
5.已知平面内四点A,B,C,D,若=2,=+λ,则λ的值为 .
解析:依题意知点A,B,D三点共线,于是有+λ=1,λ=.
答案:
6.若||=8,||=5,则||的取值范围是 .
解析:=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,||=8+5=13;当,不共线时,3<||<13.综上可知3≤||≤13.
答案:[3,13]
7.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.
其中正确命题的个数为 .
解析:=a,=b,=+=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)
=-a+b,故③正确;
所以++=-b-a+a+b+b-a=0.故④正确.
所以正确命题的序号为②③④.
答案:3
8.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若=a,=b,=2.
(1)用a,b表示;
(2)证明:A,M,C三点共线.
解:(1)=++=a+b+=a+b,
又E为AD中点,
所以==a+b,
因为EF是梯形的中位线,且=2,
所以=(+)==a,
又M,N是EF的三等分点,所以==a,
所以=+=a+b+a
=a+b.
(2)证明:由(1)知==a,
所以=+=a+b=,
又与有公共点M,所以A,M,C三点共线.
[综合题组练]
1.已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点,则=( )
A.+ B.-
C.+ D.+
解析:选A.如图所示,设BC的中点为E,则=+=+=+(+)=-
+·=+.故选A.
2.如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①+2;②+;③+;④+;⑤-.若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A.①② B.②④
C.①③ D.③⑤
解析:选B.在ON上取点C,使得OC=2OB,以OA,OC为邻边作平行四边形OCDA,则=+2,其终点不在阴影区域内,排除A,C;取OA上一点E,作AE=OA,作EF∥OB,交AB于点F,则EF=OB,由于EF
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