【数学】2019届一轮复习北师大版导数中的构造函数学案 6页

‎【题型综述】‎ 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数 思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论 出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数．‎ ‎【题型综述】‎ 一、利用进行抽象函数构造 ‎1．利用与构造 ‎ 常用构造形式有，；这类形式是对，型函数导数计算的推广及应用，我们对，的导函数观察可得知，型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造．‎ 例1、是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为 ．‎ ‎【思路引导】出现“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．‎ ‎2．利用与构造 与构造，一方面是对，函数形式的考察，另外一方面是对的考察．所以对于类型，我们可以等同，的类型处理， “”法优先考虑构造， “”法优先考虑构造． ]‎ 例2、已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．‎ ‎3．利用与，构造 ‎，因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，．‎ 例3、已知函数对于任意满足（其中 是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．‎ 二、构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．‎ 例4、，，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路引导】构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．[ | | |X|X| ]‎ ‎【解析】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又为偶函数，根据单调性和图象可知选B． ‎ ‎【同步训练】‎ ‎1、设是定义在上的偶函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．‎ ‎【思路引导】出现“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可． ‎ ‎【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递增．为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，在上也单调递减．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为． ‎ ‎2、已知偶函数（）的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是 ．‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．‎ ‎3、设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为 ．[ ]‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．注意和的转化．‎ ‎【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在 上单调递减．为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为．‎ ‎4、若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为 ．‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．‎ ‎5、已知函数在上可导，其导函数，若满足 ，，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．‎ ‎【详细解析】构造形式，则，导函数满足，则时，在上单调递增．当时，在上单调递减．又由关于对称，根据单调性和图象，可知选C． ‎ ‎6、等比数列中，，，函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路引导】构造函数，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可．‎ ‎【详细解析】令形式，则，，‎ ‎，故选C．‎ ‎7、已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为（ ）[ + + ]‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路引导】把看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．‎