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- 2021-06-10 发布
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辅导教案
学员姓名: 学科教师:
年 级: 辅导科目:
授课日期
××年××月××日
时 间
A / B / C / D / E / F段
主 题
指数方程与对数方程
教学内容
1. 理解指数方程、对数方程的概念;
2. 会解简单的指数、对数方程。
(以提问的形式回顾)
指数方程与对数方程的类型及其解法
答案:
类型
指数方程的解法
对数方程的解法
最简型
同底型
换元型
此部分让学生回答,如出现学生不会的问题,可相互讨论,结合教师引导,5到10分钟完成。
(采用教师引导,学生轮流回答的形式)
例1. 解方程: 9x+6x=22x+1
由原方程得:32x+3x·2x=2·22x,两边同除以22x得:()2x+()x-2=0.
因式分解得:
[()x-1]·[()x+2]=0.
∵()x+2>0,∴ ()x-1=0,x=0.
试一试:解下列方程:
(1); (2);
解:(1)原方程可化为 .
令,得,解得,.
由得,,;由,得.
所以,方程的解是或.
(2) 原方程可化为,两边同除以,得
,令,得,解得,
由得;由,得.
所以,方程的解是或.
例2. 解下列方程:
(1)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2x+1) (2)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2
(1)由原方程得:log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7,经检验知:x=0为原方程解.
(2)log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2) 9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得:(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x
=1或2.经检验x=2是原方程解.
总结:指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程,因转化过程中有时“不等价”,故须验根,“增根须舍去,失根要找回”是解方程的基本原则.
试一试:解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
解:(1) 原方程可化为,即,所以.
解得,或.经检验,当时,或为负数,不合题意,
故不是原方程的解,应舍去. 当时,等式成立.
所以,原方程的解是.
(2)利用换底公式, 原方程可化为,即.
令,得,解得,
由得;由,得.
经检验,,都是原方程的解.
(3) 原方程可化为,即
令,得,解得,,
由得;由,得.
经检验,,都是原方程的解.
(4)由题意得:= ∴,经检验,是原方程的解
点评:
(1)运用换元法能使复杂问题变得简单.
(2)解对数方程(根式、分式)要检验.
(3指数与对数互写、换底、换元是解指数方程、对数方程的常用策略.
例3. 解关于x的方程:a2·4x+(2a-1)·2x+1=0.
解:①当a=0时,2x=1,x=0;
②当a≠0时,Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a;若Δ≥0则a≤ (a≠0).
关于t的一元二次方程a2·t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根,而两根之积为>0,故两根之和为正数,即>0a<,故a≤ (a≠0)时,2x=,故a≤ (a≠0)时,x=log2为原方程之根.
小结:方程经“换元”之后,如何保持“等价性”是关键所在,应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.
试一试:当a为何值时,关于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1.
解:令y=2x,∵x1=x2+1,故2=2·2,即y2=2y1,故关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍,不妨设为m,2m.
由 .
例4. 关于的方程在区间上有解,求的取值范围。
解法指导:有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题,可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数,数形结合求解。
解:由,得,因为方程在上有解,所以在函数的值内取值即可,不难求得其值域为,
所以。
试一试:若关于的方程有实数解,求实数的范围。
解:方程整理得
考虑图像有交点。
由图像知:时有解
(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解)
1. 方程:log (4-x)(x2-2x)=log(4-x)(5x-6)的根的个数是 ( )A
A.0 B.1 C.2 D.无穷多个
2. 若关于x的方程2x-1+2x2+a=0有实根,则a的取值范围是 ( )B
A.(-∞,-1) B.(-∞,-) C.( ,+∞) D.(1,+∞)
3. 方程2x+3x=5·6x-1的解集是 ( )B
A.{0} B.{1} C.{-1} D.以上都不是
4. 方程的解是_______
5. 方程的解是_______
6. 解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
答案:(1);(2);(3);(4)
7. 关于的方程有实数解,求实数的范围。
解:令
方程整理得
转化得
所以时原方程有实数解。
本节课主要知识:指数方程与对数方程基本类型的求解方法,换元法需要注意的问题
【巩固练习】
1. 函数在上最大值比最小值大,则
2. 解方程:9x-4·3x+3=0.
由(3x)2-4(3x)+3=0 (3x-1)(3x-3)=03x=1或3x=0或1.
3. 已知关于x的方程:2logx-7·logax+3=0有一个根是2,求a值及另一个根.
设另一根为m,∵Δ>0,故由根与系数关系得:loga2 (-loga2)= a=4或.
4. 当a为何值时,关于x的方程:2lgx-lg(x-1)=lga有一解?有两解?无解?
化方程为x2=a(x-1)(x>1,a>0)作函数y=x2(x>1)及y=a(x-1)(x>1,a>0)的草图,由Δ=0得a=4.
①当04时,原方程有不同的两解:x=.
【预习思考】
1. 与角终边相同的角的集合S如何表示?角有范围限制吗?
2. 弧度制的定义是什么?弧度制与角度制是如何转化的?
3. 任意角三角比是如何定义的?与我们初中学的锐角三角比的定义有什么不同?