2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1 39页

1.3 　空间向量及其运算的坐标表示 激趣诱思 知识点拨 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出 :“ 数学研究数量关系与空间形式 , 简单讲就是形与数 , 欧几里得几何体系的特点排除了数量 关系 ……, 对于集合 , 对于研究空间形式 , 你要真正的 ‘ 腾飞 ’, 不通过数量关系 , 我想 不出 有什么好的办法 …….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的 “ 腾飞 ” 是 “ 数量化 ”, 也就是坐标系的引入 , 使得几何问题 “ 代数化 ”, 为了使得空间几何 “ 代数化 ”, 我们 引 入 了 坐标及其运算 . 激趣诱思 知识点拨 一、空间直角坐标系与坐标表示 1 . 空间直角坐标系 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 , 以点 O 为原点 , 分别以 i , j , k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴 : x 轴、 y 轴、 z 轴 , 它们都叫做坐标轴 . 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz , O 叫做原点 , i , j , k 都叫做坐标向量 , 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 , 分别称为 Oxy 平面 , Oyz 平面 , Ozx 平面 . 2 . 点的坐标 激趣诱思 知识点拨 3 . 向量的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中 , 给定向量 a , 作 = a . 由空间向量基本定理 , 存在唯一的有序实数组 ( x , y , z ), 使 a =x i +y j +z k . 有序实数组 ( x , y , z ) 叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标 , 可简记作 a = ( x , y , z ) . 名师点析 1 . 画空间直角坐标系 Oxyz 时 , 一般使 ∠ xOy= 135 ° ( 或 45 ° ), ∠ yOz= 90 ° . 三个坐标平面把空间分成八个部分 . 2 . 在空间直角坐标系中 , 让右手拇指指向 x 轴的正方向 , 食指指向 y 轴的正方向 , 如果中指指向 z 轴的正方向 , 则称这个坐标系为右手直角坐标系 . 本书建立的都是右手直角坐标系 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若 a = 3 i + 2 j - k , 且 { i , j , k } 为空间的一个单位正交基底 , 则 a 的坐标为 　　　　 .   微思考 在空间直角坐标系中 , 向量 的 坐标与终点 P 的坐标有何关系 ? (3,2, - 1 ) 答案 : 向量 的 坐标恰好是终点 P 的坐标 , 这就实现了空间基底到空间坐标系的转换 . 激趣诱思 知识点拨 二、空间向量运算的坐标表示 1 . 空间向量的坐标运算法则 设向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ), b = ( b 1 , b 2 , b 3 ), λ ∈ R , 那么 2 . 空间向量的坐标与其端点坐标的关系 : 设 A ( x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ), 则 = ( x 2 -x 1 , y 2 -y 1 , z 2 -z 1 ) . 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 . ( a 1 +b 1 , a 2 +b 2 , a 3 +b 3 ) ( a 1 -b 1 , a 2 -b 2 , a 3 -b 3 ) 　 ( λ a 1 , λ a 2 , λ a 3 ) 　 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 激趣诱思 知识点拨 3 . 空间向量平行与垂直条件的坐标表示 若向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ), b = ( b 1 , b 2 , b 3 ), 则 (1) 当 b ≠ 0 时 , a ∥ b ⇔ a = λ b ⇔ 　　 　　　　　　 ( λ ∈ R );   (2) a ⊥ b ⇔ 　　　　　 ⇔ 　　　　　　　　　　 .   名师点析 当 b 的坐标中 b 1 , b 2 , b 3 都不等于 0 时 , a 与 b 平行的条件还可以表示为 a ∥ b ⇔ . a 1 = λ b 1 , a 2 = λ b 2 , a 3 = λ b 3 a · b = 0 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 = 0 激趣诱思 知识点拨 4 . 空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示 若向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ), b = ( b 1 , b 2 , b 3 ), 则 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 已知空间向量 m = (1, - 3,5), n = ( - 2,2, - 4), 则有 m + n = 　　　　　   , 3 m - n = 　　　　　   ,(2 m )·( - 3 n ) = 　　　　　 .   微 练习 2 已知空间向量 a = (2, λ , - 1), b = ( λ ,8, λ - 6), 若 a ∥ b , 则 λ = 　　　　　 , 若 a ⊥ b , 则 λ = 　　　　　 .   ( - 1, - 1,1 ) (5, - 11,19 ) 168 解析 : m + n = (1, - 3,5) + ( - 2,2, - 4) = ( - 1, - 1,1),3 m - n = 3(1, - 3,5) - ( - 2,2, - 4) = (5, - 11,19),(2 m )·( - 3 n ) = (2, - 6,10)·(6, - 6,12) = 168 . 4 激趣诱思 知识点拨 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 空间向量的坐标表示 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤如下 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 空间向量的坐标运算 例 2 已知在空间直角坐标系中 ,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5). 思路分析 先由点的坐标求出各个向量的坐标 , 再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ( 方法 1)( p + q )·( p - q ) =| p | 2 -| q | 2 = 82 - 66 = 16 . ( 方法 2) p + q = ( - 5,5,14), p - q = (3, - 5,4), 所以 ( p + q )( p - q ) =- 15 - 25 + 56 = 16 . 反思感悟 空间向量的坐标运算注意以下几点 : (1) 一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标 . (2) 空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算 , 牢记运算公式是应用的关键 . (3) 运用公式可以简化运算 :( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a · b + b 2 ;( a + b ) · ( a - b ) = a 2 - b 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 空间向量的平行与 垂直 (2) 若 k a + b 与 k a - 2 b 互相垂直 , 求 k . (2) 把 k a + b 与 k a - 2 b 用坐标表示出来 , 再根据数量积为 0 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ∴ k a + b = ( k- 1, k ,2), k a - 2 b = ( k+ 2, k , - 4) . ∵ ( k a + b ) ⊥ ( k a - 2 b ), ∴ ( k a + b )·( k a - 2 b ) = 0, 即 ( k- 1, k ,2)·( k+ 2, k , - 4) = 2 k 2 +k- 10 = 0, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量平行与垂直问题主要题型 (1) 平行与垂直的判断 ; (2) 利用平行与垂直求参数或解其他问题 , 即平行与垂直的应用 . 解题时要注意 : ① 适当引入参数 ( 比如向量 a , b 平行 , 可设 a = λ b ), 建立关于参数的方程 ; ② 最好选择坐标形式 , 以达到简化运算的目的 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知 a = ( λ + 1,1,2 λ ), b = (6,2 m- 1,2) . (1) 若 a ∥ b , 分别求 λ 与 m 的值 ; 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 空间向量夹角与模的计算 例 4 如图 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , CA=CB= 1, ∠ BCA= 90 ° , 棱 AA 1 = 2, M , N 分别是 AA 1 , CB 1 的中点 . (1) 求 BM , BN 的长 . (2) 求 △ BMN 的面积 . 思路分析 建立空间直角坐标系 , 写出 B , M , N 等点的坐标 , 从而 得出 的 坐标 . 然后利用模的公式求得 BM , BN 的长度 . 对于 (2), 可利用夹角公式求得 cos ∠ MBN , 再求出 sin ∠ MBN 的值 , 然后套用面积公式计算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 以 C 为原点 , 以 CA , CB , CC 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 ( 如图 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量夹角与模的计算方法 利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题 , 关键是建立恰当的空间直角坐标系 , 写出有关点的坐标 , 然后利用夹角与模的计算公式进行求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别为 A 1 D 1 , BB 1 的中点 , 则 cos ∠ EAF= 　　　　　 , EF= 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 以 A 为原点 , AB , AD , AA 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系 ( 图略 ), 设正方体棱长为 1, 则 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 一题多变 —— 空间向量的平行与 垂直 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 由题意 , 可设点 P 的坐标为 ( a , a ,1 ), 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 若本例中的 PQ ⊥ AE 改为 B 1 Q ⊥ EQ , 其他条件不变 , 结果如何 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 本例中若点 G 是 A 1 D 的中点 , 点 H 在平面 xOy 上 , 且 GH ∥ BD 1 , 试判断点 H 的位置 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 A.(2,1, - 3) B.( - 1,2, - 3) C.(1, - 8,9) D.( - 1,8, - 9) 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 下列向量中与向量 a = (0,1,0) 平行的向量是 ( 　　 ) A. b = (1,0,0) B. c = (0, - 1,0) C. d = ( - 1, - 1,1) D. e = (0,0, - 1) 答案 : B 　 解析 : 比较选项中各向量 , 观察哪个向量符合 λ a = (0, λ ,0) 的形式 , 经过观察 , 只有 c =- a . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知向量 a = (1,0,1), b = (2,0, - 2), 若 ( k a + b )·( a +k b ) = 2, 则 k 的值等于 ( 　　 ) 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 已知点 A (1 -t ,1 -t , t ), B (2, t , t ), 则 A , B 两点的距离的最小值为 ( 　　 ) 答案 : C 　 解析 : 因为点 A (1 -t ,1 -t , t ), B (2, t , t ), 所以 |AB| 2 = (1 +t ) 2 + (2 t- 1) 2 + ( t-t ) 2 = 5 t 2 - 2 t+ 2, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 已知向量 a = (2, - 1, - 2), b = (1,1, - 4) . (1) 计算 2 a - 3 b 和 | 2 a - 3 b |. (2) 求 < a , b >.