【数学】2020届一轮复习北师大版 坐标系 作业 10页

‎1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点D的坐标是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(9,-1) B.(-3,1)‎ C.(1,3) D.(2,2)‎ 解析:设点D的坐标为(x,y).‎ 则‎-1+5=3+x,‎‎2+1=0+y,‎解得x=1,‎y=3.‎ 故点D的坐标为(1,3).‎ 答案:C ‎2.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重心G(2,-1),则点C的坐标为(　　)‎ A.(-3,2) B.(3,-2)‎ C.(2,-3) D.(-2,3)‎ 解析:设点C(x,y),线段AB的中点D‎9‎‎2‎‎,-‎‎5‎‎2‎.‎ 依题意得GC=2DG,‎ 即(x-2,y+1)=2‎2-‎9‎‎2‎,-1+‎‎5‎‎2‎.‎ 得x-2=-5,‎y+1=3,‎解得x=-3,‎y=2,‎ 故C(-3,2)为所求.‎ 答案:A ‎3.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是(　　)‎ A.两条直线 B.四条直线 C.两个点 D.四个点 解析:由方程得x‎2‎‎-4=0,‎y‎2‎‎-4=0,‎解得x=2,‎y=2‎或x=-2,‎y=-2‎或x=-2,‎y=2‎或x=2,‎y=-2,‎故选D.‎ 答案:D ‎4.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是(　　)‎ A.x+y-1=0 B.x+y+3=0‎ C.x-y+1=0 D.x-y+3=0‎ 解析:因为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心是(1,2),将圆心坐标代入各选项验证知选C.‎ 答案:C ‎5.平面上有三个点A(-2,y),B‎0,‎y‎2‎,C(x,y),若AB‎⊥‎BC,则动点C的轨迹方程是　　　　　. ‎ 解析: AB‎=‎‎0,‎y‎2‎-(-2,y)=‎2,-‎y‎2‎‎,‎BC=(x,y)-‎0,‎y‎2‎‎=‎x,‎y‎2‎,∵AB‎⊥‎BC,∴AB‎·‎BC=0.‎ ‎∴‎2,-‎y‎2‎‎·‎x,‎y‎2‎=0,即y2=8x.‎ ‎∴动点C的轨迹方程为y2=8x.‎ 答案:y2=8x ‎6.在平面直角坐标系中,已知点A为平面内的一个动点,点B的坐标为(2,0).若OA‎·‎BA=|OB|(O为坐标原点),则动点A的轨迹为　　　　　. ‎ 解析:设动点A的坐标为(x,y),则OA=(x,y),BA=(x-2,y),|OB|=‎2‎‎2‎‎+0‎=2.‎ 代入已知条件得x(x-2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,它表示一个圆.‎ 答案:圆 ‎7.已知真命题:若点A为☉O内一定点,点B为☉O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以点O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若点A为☉O外一定点,点B为☉O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是　. ‎ 解析:如图,连接AP,因为P是线段AB的垂直平分线上一点,‎ 所以|PA|=|PB|.‎ 因此||PA|-|PO||=||PB|-|PO||=|OB|=R=定值,其中R为☉O的半径.由于点A在圆外,故||PA|-|PO||=|OB|=R<|OA|,故动点P的轨迹是以O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线.‎ 答案:以点O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线 ‎8.关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两根为sin θ,cos θ,求点P(a,b)的轨迹方程其中|θ|≤‎π‎4‎.‎ 解由已知可得a=sinθ+cosθ,‎b=sinθcosθ,‎‎①‎‎②‎ 令①2-2×②得a2=2b+1.‎ ‎∵a=sin θ+cos θ=‎2‎sinθ+‎π‎4‎,|θ|≤π‎4‎,‎ ‎∴0≤a≤‎2‎.‎ 由sin θ·cos θ=‎1‎‎2‎sin 2θ,知|b|≤‎1‎‎2‎.‎ ‎∴点P(a,b)的轨迹方程是a2=2b+1(0≤a≤‎2‎).‎ ‎9.导学号73144002已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.‎ ‎(1)求动点C的轨迹方程;‎ ‎(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求RP‎·‎RQ的最小值.‎ 解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,‎ 则点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线.‎ 故动点C的轨迹方程为x2=4y.‎ ‎(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.‎ 又易得点R的坐标为‎-‎2‎k,-1‎,‎ 则RP‎·RQ=x‎1‎‎+‎2‎k,y‎1‎+1‎·‎x‎2‎‎+‎2‎k,y‎2‎+1‎ ‎=x‎1‎‎+‎‎2‎kx‎2‎‎+‎‎2‎k+(kx1+2)(kx2+2)‎ ‎=(1+k2)x1x2+‎2‎k‎+2k(x1+x2)+‎4‎k‎2‎+4‎ ‎=-4(1+k2)+4k‎2‎k‎+2k‎+‎‎4‎k‎2‎+4‎ ‎=4k‎2‎‎+‎‎1‎k‎2‎+8.‎ ‎∵k2+‎1‎k‎2‎≥2,当且仅当k2=1时取等号,‎ ‎∴RP‎·‎RQ≥4×2+8=16,‎ 即RP‎·‎RQ的最小值为16.‎ B组 ‎1.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是(　　)‎ A.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎16‎=1 B.x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1‎ C.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎16‎=1(x>3) D.x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1(x>4)‎ 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,‎ 所以|CA|-|CB|=|AD|-|BF|=8-2=6.‎ 根据双曲线定义,所求轨迹是以点A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎16‎=1(x>3).‎ 答案:C ‎2.已知椭圆的焦点是F1,F2,点P是椭圆上的一个动点.若点M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是(　　)‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:如图,设椭圆的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 则|PF1|+|PF2|=2a,连接MO,由三角形的中位线可得,|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),则动点M的轨迹是以点F1,O为焦点的椭圆.故选B.‎ 答案:B ‎3.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,点A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为(　　)‎ A.‎4‎x‎2‎‎21‎‎-‎‎4‎y‎2‎‎25‎=1 B.‎4‎x‎2‎‎21‎‎+‎‎4‎y‎2‎‎25‎=1‎ C.‎4‎x‎2‎‎25‎‎-‎‎4‎y‎2‎‎21‎=1 D.‎4‎x‎2‎‎25‎‎+‎‎4‎y‎2‎‎21‎=1‎ 解析:∵点M为AQ垂直平分线上一点,∴|AM|=|MQ|,‎ ‎∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5>|CA|=2,故点M的轨迹为椭圆.‎ ‎∴a=‎5‎‎2‎,c=1,则b2=a2-c2=‎21‎‎4‎,‎ ‎∴椭圆的标准方程为‎4‎x‎2‎‎25‎‎+‎‎4‎y‎2‎‎21‎=1.‎ 答案:D ‎4.已知两条直线l1为2x-3y+2=0,l2为3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1,l2都相交,且l1,l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则动圆圆心的轨迹方程是　　　　　　　　. ‎ 解析:设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.‎ 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,‎ ‎2r‎2‎‎-‎d‎1‎‎2‎=26,‎‎2r‎2‎‎-‎d‎2‎‎2‎=24,‎即r‎2‎‎-d‎1‎‎2‎=169,‎r‎2‎‎-d‎2‎‎2‎=144,‎ 消去r得动点M满足的几何关系为d‎2‎‎2‎‎-‎d‎1‎‎2‎=25,‎ 即‎(3x-2y+3‎‎)‎‎2‎‎13‎‎-‎‎(2x-3y+2‎‎)‎‎2‎‎13‎=25.‎ 化简得(x+1)2-y2=65,‎ 此即为所求的动圆圆心的轨迹方程.‎ 答案:(x+1)2-y2=65‎ ‎5.已知双曲线x‎2‎‎2‎-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.‎ ‎(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;‎ ‎(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.‎ 解(1)由题设知|x1|>‎2‎,A1(-‎2‎,0),A2(‎2‎,0),‎ 则直线A1P的方程为y=y‎1‎x‎1‎‎+‎‎2‎(x+‎2‎),①‎ 直线A2Q的方程为y=‎-‎y‎1‎x‎1‎‎-‎‎2‎(x-‎2‎).②‎ 联立①②解得交点坐标为x=‎2‎x‎1‎,y=‎2‎y‎1‎x‎1‎,‎ 即x1=‎2‎x,y1=‎2‎yx,③‎ 则x≠0,|x|<‎2‎.‎ 而点P(x1,y1)在双曲线x‎2‎‎2‎-y2=1上,得x‎1‎‎2‎‎2‎‎-‎y‎1‎‎2‎=1.‎ 将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1,x≠0且x≠±‎2‎.‎ ‎(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1),‎ 联立x‎2‎‎2‎+y2=1与y=kx+h(h>1),‎ 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.‎ 令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得k1=h‎2‎‎-1‎‎2‎,k2=-h‎2‎‎-1‎‎2‎.‎ 由于l1⊥l2,则k1k2=-h‎2‎‎-1‎‎2‎=-1,故h=‎3‎.‎ 过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,‎ 由h‎2‎‎×‎‎-‎h‎2‎=-1,得h=‎2‎.‎ 此时,l1,l2的方程分别为y=x+‎2‎与y=-x+‎2‎,‎ 它们与轨迹E分别仅有一个交点‎-‎2‎‎3‎,‎‎2‎‎2‎‎3‎与‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 所以,符合条件的h的值为‎3‎或‎2‎.‎ ‎6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x‎2‎‎100‎‎+‎y‎2‎‎25‎=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M‎0,‎‎64‎‎7‎为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.‎ ‎(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.‎ ‎(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?‎ 解(1)由题意,可设曲线方程为y=ax2+‎64‎‎7‎,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a·64+‎64‎‎7‎,解得a=-‎1‎‎7‎.‎ 故所求曲线方程为y=-‎1‎‎7‎x2+‎64‎‎7‎.‎ ‎(2)设变轨点为C(x,y).‎ 根据题意可知 x‎2‎‎100‎‎+y‎2‎‎25‎=1,‎y=-‎1‎‎7‎x‎2‎+‎64‎‎7‎,‎ 消去x得4y2-7y-36=0,‎ 解得y=4或y=-‎9‎‎4‎(舍去),‎ 于是x=6或x=-6(舍去),故点C的坐标为(6,4).‎ 应用两点间距离公式计算,得|AC|=2‎5‎,|BC|=4.‎ 故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为2‎5‎,4时,应向航天器发出变轨指令.‎ ‎7.导学号73144003设椭圆方程为x2+y‎2‎‎4‎=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足OP‎=‎1‎‎2‎(OA+‎OB),点N的坐标为‎1‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,当直线l绕点M旋转时,求:‎ ‎(1)动点P的轨迹方程;‎ ‎(2)|NP|的最大值和最小值.‎ 解(1)直线l过定点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由题意知,A,B的坐标满足方程组y=kx+1,‎x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ 消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0.‎ 则Δ=4k2+12(4+k2)>0,‎ x1+x2=-‎2k‎4+‎k‎2‎,x1x2=‎-3‎‎4+‎k‎2‎.‎ 由OP‎=‎1‎‎2‎(OA+‎OB),得点P是AB的中点.‎ 设P(x,y),则 x=‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)=‎-k‎4+‎k‎2‎,‎y=‎1‎‎2‎(y‎1‎+y‎2‎)=‎1‎‎2‎(kx‎1‎+1+kx‎2‎+1)=‎4‎‎4+‎k‎2‎,‎ 消去k得4x2+y2-y=0.‎ 当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.‎ ‎(2)由(1)知4x2+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 得-‎1‎‎4‎≤x≤‎1‎‎4‎.‎ 而|NP|2=‎x-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎y-‎‎1‎‎2‎‎2‎ ‎=x-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1-16‎x‎2‎‎4‎=-3x+‎‎1‎‎6‎‎2‎‎+‎‎7‎‎12‎,‎ 故当x=-‎1‎‎6‎时,|NP|取得最大值‎21‎‎6‎,‎ 当x=‎1‎‎4‎时,|NP|取得最小值‎1‎‎4‎.‎