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  • 2021-06-10 发布

北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第2节

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走向高考 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 高考总复习 导数及其应用 第三章 第二节  导数在函数单调性、极值中的应用 第三章 课前自主导学2 课 时 作 业4 高考目标导航1 课堂典例讲练3 高考目标导航 考纲要求 命题分析 1.了解函数单调 性和导数的关系. 2.能利用导数 研究函数的单调性, 会求函数的单调区间( 其中多项式函数一般 不超过三次). 3.了解函数在 某点取得极值的必要 条件和充分条件. 4.会用导数求 函数的极大值、极小 值(其中多项式函数一 般不超过三次). 每年的高考命题中都有导数应用的解答 题出现,对导数的考查非常全面,既有选择 题、填空题等客观题,又有解答题,通常以 解答题为主,并且所占的分值较高.常见的 考查方式有两种形式:一是直接把导数应用 于多项式函数性质的研究,考查多项式函数 的单调性、极值、最值等,二是把导数与函 数、方程、不等式、数列等相联系,进行综 合考查,主要考查函数的最值或求参数的值 (或范围). 预测2016年高考对本节知识的考查仍将 突出导数的工具性,重点考查利用导数研究 函数极值、最值及单调性等问题.在2016年 备考中应予以高度关注. 课前自主导学 1.函数的单调性与导数 递增 递减 2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 他点的函数值________,且f ′(a)=0,而且在点x=a附近的左 侧________,右侧________,则点a叫做函数的极小值点,f(a) 叫做函数的极小值. 都小 f ′(x)<0 f ′(x)>0 (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其 他点的函数值________,且f ′(b)=0,而且在点x=b附近的左 侧________,右侧________,则点b叫做函数的极大值点,f(b) 叫做函数的极大值,________和________统称为极值. 都大 f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值 极小值 1.(教材改编题)函数f(x)=x3+x的增区间是(  ) A.(0,+∞)     B.(-∞,0) C.(-∞,+∞)  D.(-∞,0)和(0,+∞) [答案] C [解析] 因为f ′(x)=3x2+1>0对任意x∈R恒成立,故f(x)的 增区间为(-∞,+∞). 3.(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p: f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则(  ) A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 [答案] C 4.(文)函数f(x)=ax2-b在区间(-∞,0)内是减函数,则 a,b应满足(  ) A.a<0且b=0  B.a>0且b∈R C.a<0且b≠0  D.a<0且b∈R [答案] B [解析] f ′(x)=2ax,当x<0时,由f ′(x)=2ax<0,得a>0, ∴a>0,b∈R. [答案] D [解析] y′=3ax2-1, ∵函数y=ax3-x在R上是减函数, ∴3ax2-1≤0在R上恒成立,∴a≤0. 5 . 函 数 f ( x ) = x 3 - 1 5 x 2 - 3 3 x + 6 的 单 调 减 区 间 为 ________. [答案] (-1,11) [解析] 本题主要考查求导公式和单调区间. f ′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 由(x-11)(x+1)<0得-10;02时,f ′(x)>0. ∴x=2时,f(x)取极小值. (理)已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增加的,则a的最 大值是________. [答案] 3 [解析] ∵f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增加的, ∴f ′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立, 而当x∈[1,+∞)时,(3x2)min=3×12=3. ∴a≤3,故amax=3. 课堂典例讲练 已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当t>0时,求f(x)的单调区间. [规范解答] (1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f ′(x)=12x2+6x-6,f ′(0)=-6, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x. 利用导数求函数的单调区间 [方法总结] 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数 根. (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面 的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间. (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定 函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. (理)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx, f(e)=2(e=2.718 28…是自然对数的底数). (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间. [解析] (1)由f(e)=2得b=2. (2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx, 从而f ′(x)=alnx. 因为a≠0,故: ①当a>0时,由f ′(x)>0得x>1, 由f ′(x)<0得00得01. 综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单 调减区间为(0,1);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调 递减区间为(1,+∞). 由函数的单调性求参数的范围(值) [方法总结] 由函数的单调性求参数的取值范围,这类问 题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求 出参数的取值范围. (文)已知f(x)=ex-ax-1.是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单 调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不 存在,说明理由. [解析] 方法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵y=ex在(-∞,0]上为增函数. ∴当x=0时,ex最大为1. ∴a≥1. 同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立, ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤1. 综上可知a=1. 方法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1,验证a=1符合题意. 利用导数研究函数的极值 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. [方法总结] (1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要 条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同. (2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调 函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值. (文)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,00时,f(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x≠0时,求函数f(x)的极值. [分析] (1)令x<0知-x>0,代入可求. (2)求x>0的极值,由奇函数性质便可求得x<0的极值. 利用极值求参数 [思路分析] (1)根据导函数值的正负可判断原函数的单调 性,从而判断极值点. (2)根据极值点是f ′(x)=0的方程的根可列a,b,c的方程组 求参数. (文)(2014·兰州一中月考)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x +1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  ) A.(-1,2)  B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6)  D.(-∞,-1)∪(2,+∞) [答案] B [解析] 因为f ′(x)=3x2+2ax+a+6,要使f(x)有极大值也 有极小值,则f ′(x)的判别式大于零, 即(2a)2-4×3(a+6)>0, 解得a<-3或a>6,故选B. (理)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设a=2,求f(x)的单调区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范 围. [分析] (1)单调区间为f′(x)>0,f′(x)<0的解区间. (2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令f′(x)=0,得到x1=1,x2=A. 当a>1时, [方法总结] (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨 论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:①方程f′(x)=0是否 有根;②若f′(x)=0有根,求出根后是否在定义域内;③若根在 定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法. (2)本题的难点是分类讨论,除了比较两个根1与a的大小 外,还须比较f(0)与f(a)的大小. 一点注意 如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个,这些 区间之间一般不能用并集符合“∪”连接,只能用“,”或 “和”字隔开. 两个条件 (1)f ′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分 条件. (2)对于可导函数f(x),f ′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值 的必要不充分条件. 三个步骤 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f ′(x); (3)由f ′(x)>0(f ′(x)<0)解出相应的x的范围. 当f ′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f ′(x)<0时, f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调 区间. 课 时 作 业 (点此链接)