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- 2021-06-10 发布
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第32课 复数
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
复数的概念
√
复数的四则运算
√
复数的几何意义
√
1.复数的有关概念
(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量的模r叫作复数z=a+bi的模,即|z|=|a+bi|=.
2.复数的几何意义
复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量=(a,b).
3.复数代数形式的四则运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
==+i(c+di≠0).
(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图321所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2,=-.
图321
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)如图322,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是________.
图322
B [共轭复数对应的点关于实轴对称.]
3.(2016·江苏高考)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是________.
5 [因为z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i,所以z的实部是5.]
4.(2016·北京高考改编)复数=________.
i [法一:===i.
法二:===i.]
5.(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为______.
[∵z2=3+4i,∴|z2|=|z|2=|3+4i|==5,
∴|z|=.]
复数的有关概念
(2016·全国卷Ⅲ改编)若z=1+2i,则=________.
i [因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.]
(2)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.
-2 [由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.]
[规律方法] 1.解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.
2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.
[变式训练1] (1)已知i为虚数单位,复数z=的虚部为________.
【导学号:62172171】
(2)(2017·泰州中学高三摸底考试)已知复数z满足(1+i)·z=-i,则的模为________.
(1) (2) [(1)复数z====+i,则其虚部为.
(2)(1+i)·z=-i⇒z==⇒=⇒||=.
复数代数形式的四则运算
(1)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=________.
(2)(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
(1)2-i (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,∴z=2-i.
(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论,可提高运算速度
(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).
[变式训练2] (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=________.
(2)已知i是虚数单位,8+2 018=________.
(1)-1-i (2)1+i [(1)由=1+i,得z====-1-i.
(2)原式=8+1 009
=i8+1 009=i8+i1 009
=1+i4×252+1=1+i.]
复数的几何意义
(1)(2016·全国卷Ⅱ改编)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是________.
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=________. 【导学号:62172172】
(1)(-3,1) (2)-5 [(1)由题意知即-3<m<1.故实数m的取值范围为(-3,1).
(2)∵z1=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z2的对应点的坐标为(-2,1),即z2=-2+i,
∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.]
[规律方法] 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
[变式训练3] 定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数对应的点在第________象限.
二 [由题意得z×2i-(1+i)(-i)=0,所以z==--i,则=-+i在复平面内对应的点为,位于第二象限.]
[思想与方法]
1.复数分类的关键是抓住z=a+bi(a,b∈R)的虚部:当b=0时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.
2.复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.
3.化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.
[易错与防范]
1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
2.两个虚数不能比较大小.
3.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,应注意a,b,c,d∈R的前提条件.
4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.
课时分层训练(三十二)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
1.(2017·苏州模拟)设复数zi=1+2i(i是虚数单位),则z=________.
2-i [由zi=1+2i得z====2-i.]
2.(2017·苏锡常镇二模)已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=________. 【导学号:62172173】
-1 [由(a-i)2=2i得a2-1-2ai=2i,故即a=-1.]
3.(2017·无锡模拟)若复数z满足(2-i)z=4+3i(i为虚数单位),则|z|=________.
[由(2-i)z=4+3i,得|(2-i)z|=|4+3i|,
即|z|=5,∴|z|=.]
4.(2016·全国卷Ⅰ改编)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=________.
-3 [(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知a-2=1+2a,解得a=-3.]
5.(2016·全国卷Ⅰ改编)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=________.
[∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi.
又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.
∴|x+yi|=|1+i|=.]
6.(2017·泰州期末)如图323,在复平面内,点A对应的复数为z1,若=i(i为虚数单位),则z2=________.
图323
-2-i [由图可知,z1=-1+2i,
∴z2=z1i=(-1+2i)·i=-i-2.]
7.(2017·南京模拟)设=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=________.
1 [∵===2-i.
又由a+bi=2-i可知 ,a=2,b=-1,
∴a+b=2-1=1.]
8.(2017·苏州模拟)复数z=(a<0),其中i为虚数单位,|z|=,则a的值为________. 【导学号:62172174】
-5 [∵z=,且|z|=,
∴=,∴a=-5.]
9.若z=4+3i,则=________.
-i [∵z=4+3i,∴=4-3i,|z|==5,
∴==-i.]
10.已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2 019=________.
0 [z=1+=1+=i,∴1+z+z2+…+z2 019====0.]
11.已知a∈R,若为实数,则a=________.
- [===+i.
∵为实数,∴=0,∴a=-.]
12.已知复数z=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为________.
【导学号:62172175】
[∵|z-2|==,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知max==.]
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.已知复数z1=-+i,z2=--i,则下列命题中错误的是________.(填序号)
①z=z2;
②|z1|=|z2|;
③z-z=1;
④z1,z2互为共轭复数.
③ [依题意,注意到z=2=-i=--i=z2,因此①正确;注意到|z1|=1=|z2|,因此②正确;注意到=--i=z2,因此④正确;注意到z=z·z1=
2·==1,同理z=1,因此z-z=0,③错误.]
2.设f(n)=n+n(n∈N+),则集合{f(n)}中元素的个数为________.
3 [f(n)=n+n=in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…,
∴集合中共有3个元素.]
3.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为________.
3或6 [∵M∩N={3},∴3∈M且-1∉M,
∴m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,
∴m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,
解得m=6或m=3.]
4.已知复数z1=cos 15°+sin 15°i和复数z2=cos 45°+sin 45°i,则z1·z2=________.
+i [z1·z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=+i.]