【数学】2020届一轮复习北师大版不等式选讲作业 3页

解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4，‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎2．(2018·巴蜀质检)设f(x)＝|2x－a|＋|x－a|(02；‎ ‎(2)求证：f(t)＋f≥6.‎ 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－1|，‎ ‎①当x<时，1－2x＋1－x>2，∴x<0；‎ ‎②当≤x≤1时，2x－1＋1－x>2，∴无解；‎ ‎③当x>1时，2x－1＋x－1>2，∴x>.‎ 综上所述，x<0或x>.‎ ‎(2)证明　f(t)＋f ‎＝|2t－a|＋|t－a|＋＋ ‎≥＋ ‎＝＋＝3≥3×2＝6.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图像；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．‎ 解析　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图像如图所示．‎ ‎(2)由(1)知，y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x＋b2|－|－x＋1|，g(x)＝|x＋a2＋c2|＋|x－2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ac＝1.‎ ‎(1)当b＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)当x∈R时，求证f(x)≤g(x)．‎ 解析　(1)由题意，当b＝1时，f(x)＝|x＋b2|－|－x＋1|＝ 当x≤－1时，f(x)＝－2<1，不等式f(x)≥1无解，不等式f(x)≥1的解集为∅；‎ 当－1