【数学】2021届一轮复习北师大版（理）2命题及其关系、充分条件与必要条件作业 6页

命题及其关系、充分条件与必要条件 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知命题p：“正数a的平方不等于‎0”‎，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于‎0”‎，则q是p的(　　)‎ A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 B　[命题p：“正数a的平方不等于‎0”‎可写成“若a是正数，则它的平方不等于‎0”‎，从而q是p的否命题．]‎ ‎2．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc‎2”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．4‎ C　[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．]‎ ‎3．设x∈R，则“2－x≥‎0”‎是“(x－1)2≤‎1”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥‎0”‎是“(x－1)2≤‎1”‎的必要不充分条件．]‎ ‎4．设x∈R，则“＜”是“x3＜‎1”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由＜，‎ 得0＜x＜1，‎ 所以0＜x3＜1；‎ 由x3＜1，得x＜1，‎ 不能推出0＜x＜1.所以“＜”是“x3＜‎1”‎的充分而不必要条件．故选A.]‎ ‎5．(2019·庆阳模拟)有下列命题：‎ ‎①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞‎0”‎的否命题；‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题；‎ ‎③“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；‎ ‎④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．①④‎ C　[①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞‎0”‎为真，故否命题为真；‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；‎ ‎③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m＞‎1”‎，‎ ‎∵当m＝0时，解集不是R，‎ ‎∴应有 即m＞1.‎ ‎∴③是真命题；‎ ‎④原命题为真，逆否命题也为真．‎ 综上得①③④为真命题，故选C.]‎ ‎6．下列说法正确的是(　　)‎ A．命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题是“若x2＝1，则x≠‎‎1”‎ B．“x＝－‎1”‎是“x2－x－2＝‎0”‎的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题 D．“tan x＝‎1”‎是“x＝”的充分不必要条件 C　[对A项，由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠‎1”‎，即A错误；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以由“x＝－‎1”‎能推出“x2－x－2＝‎0”‎，反之，由“x2－x－2＝‎0”‎推不出“x＝－‎1”‎，所以“x＝－‎1”‎是“x2－x－2＝‎0”‎的充分不必要条件，即B错误；因为由x＝y能推出sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，‎ 所以“x＝”是“tan x＝‎1”‎的充分不必要条件，‎ 即D错误．]‎ ‎7．若x＞‎2m2‎－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ‎(　　)‎ A．[－3,3]‎ B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)‎ C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ D．[－1,1]‎ D　[∵x＞‎2m2‎－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，‎ ‎∴(－1,4)(‎2m2‎－3，＋∞)，∴‎2m2‎－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.]‎ 二、填空题 ‎8．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．‎ 充要　[由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．]‎ ‎9．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 充分不必要　[当x＞1，y＞1时，x＋y＞2一定成立，即p⇒q，当x＋y＞2时，‎ 可令x＝－1，y＝4，即q⇒/ p，‎ 故p是q的充分不必要条件．]‎ ‎10．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．‎ k∈(－1,3)　[直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，‎ 解之得－1＜k＜3.]‎ ‎1．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|‎3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由|a－3b|＝|‎3a＋b|，‎ 得(a－3b)2＝(‎3a＋b)2，‎ 即a2＋9b2－‎6a·b＝‎9a2＋b2＋‎6a·b.‎ 因为a，b均为单位向量，‎ 所以a2＝b2＝1，‎ 所以a·b＝0，能推出a⊥b.‎ 由a⊥b得|a－3b|＝，|‎3a＋b|＝，‎ 能推出|a－3b|＝|‎3a＋b|，‎ 所以“|a－3b|＝|‎3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．]‎ ‎2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]‎ ‎3．有下列几个命题：‎ ‎①“若a＞b，则a2＞b‎2”‎的否命题；‎ ‎②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎③“若x2＜4，则－2＜x＜‎2”‎的逆否命题．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎②③　[①原命题的否命题为“若a≤b，‎ 则a2≤b‎2”‎，错误．‎ ‎②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，‎ 则x＋y＝‎0”‎，正确．‎ ‎③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥‎4”‎，正确．]‎ ‎4．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(2，＋∞)　[因为A＝＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1＞3，即m＞2.]‎ ‎1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a＞b＋1 B．a＞b－1‎ C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ A　[a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选A.]‎ ‎2．给出下列说法：‎ ‎①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；‎ ‎②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题；‎ ‎③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；‎ ‎④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞‎0”‎的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤‎0”‎．‎ 以上说法正确的是________(填序号)．‎ ‎①②④　[对于①，“若x＋y＝，‎ 则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，‎ 则x＋y＝”，‎ 当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，“a＝±‎1”‎是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．]‎