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- 2021-06-10 发布
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透析高考数 23题对对碰【 精品】 第三篇
主题21 导数的综合应用
【主题考法】本主题考试题型为解答题,与解析几何、函数、立体几何、概率等数 知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数函数研究函数的切线、单调性、极值及最值,考查利用导数研究函数的图象与性质,再利用函数图象与性质处理函数零点、证明不等式或不等式恒成立求参数范围等综合问题,常为压轴题,难度较大,分值为12分.
【主题考前回扣】
1.导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
(2)切点的两大特征 ①在曲线y=f(x)上;②在切线上.
2.利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域;
②求导函数f′(x);
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间,由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f′(x)≤0(x∈M)恒成立;
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集;
③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.
3.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域;
②解方程f′(x)=0; =
③判断f′(x)在方程f′(x)=0的根x0两侧的符号变化
若左正右负,则x0为极大值点;
若左负右正,则x0为极小值点;
若不变号,则x0不是极值点.
(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;
②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【易错点提醒】
1.已知可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减),则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a,b)恒成立,不能漏掉“=”,且需验证“=”不能恒成立;已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a,b),则f′(x)>0(<0)的解集为(a,b).
2.f′(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化,若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.
3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.
【主题考向】
考向一 导数的运算和几何意义
【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系 进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起 求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
例1【2018届天津市滨海新区七所重点 校联考】已知函数(其中, ).
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;
(3)求证 对于任意大于1的正整数,都有.
【分析】(1), , ,可求得切线方程。(2)即在区间上恒成立。(3)由(1)得 在上恒成立,即。令,得, ,不等式同向相加可得。
【解析】(1),
,
(2),
函数在上为增函数,
对任意恒成立.
对任意恒成立,
即对任意恒成立.
时, ,
,即所求正实数的取值范围是.
所以, ,
所以,
即,
所以,
即对于任意大于1的正整数,都有.
考向二 利用导数研究函数的单调性
【解决法宝】利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导函数;
(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式>0或<0.
②若已知函数的单调性,则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题 求解.
(4)①若求极值,则先求方程=0的根,再检查在方程根的左右函数值的符号.
②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程=0根的大小或存在情况 求解.
(5)求函数在闭区间的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值,与的各极值进行比较得到函数的最值.
例2【河南省南阳一中2018届二模】设函数.
(1) 讨论的单调性;
(2) 设,当时, ,求的取值范围.
【解析】(1)由题意得, .
当时,当, ;当时, ;
∴f(x)在单调递减,在单调递增
当时,令得x=1 ,x=
①当时, , ;当时, ;
当时, ;
所以f(x)在, 单调递增,在单调递减
②当时, ,所以f(x)在R单调递增
③当时, , ; ]
当时, ;
当时, ;
∴f(x)在, 单调递增,在单调递减
②当时, 有一个解,设为根.
∴有, , 单调递减;当时, ; 单调递增,有
∴当时, 不恒成立;
综上所述, 的取值范围是
考向三 利用导数研究函数的极值与最值问题
【解决法宝】利用导数研究函数极值(最值)的一般步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导函数;
(3)①若求极值,则先求方程=0的根,再检查在方程根的左右函数值的符号.
②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程=0根的大小或存在情况 求解.
(4)求函数在闭区间的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值
,与的各极值进行比较得到函数的最值.
例3【云南民族大 附属中 2018届下 期第一次月考】已知函数.
(1)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;
(2)若,求证 在区间上,函数的图像在函数的图像的下方.
【分析】(1)定义域为(0,+∞),f′(x) ,可求得单调区间有望极小值。(2)函数的图像在函数的图像的下方,即f(x)0,因此函数f(x)在(1,+∞)上是单调递增的,
则x=1是f(x)极小值点,
所以f(x)在x=1处取得极小值为f(1)=
(2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,
则F′(x)=x+-2x2=,
当x>1时,F′(x)<0,
故f(x)在区间[1,+∞)上是单调递减的,
又F(1)=-<0,
∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0恒成立.即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)