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  • 2021-06-10 发布

【数学】2020届一轮复习(文)北师大版1-3全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案

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第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 最新考纲 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知 识 梳 理 ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q,p或q,綈p的真假判断 p q p且q p或q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.‎ ‎3.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎4.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定为:綈p且綈q;p且q的否定为:綈p或綈q.‎ ‎ [微点提醒]‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p或q→见真即真,p且q→见假即假,‎ p与綈p→真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(  )‎ ‎(2)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.(  )‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(  )‎ ‎(4)存在x0∈M,p(x0)与任意x∈M,綈p(x)的真假性相反.(  )‎ 解析 (1)错误.命题p或q中,p,q有一真则真.‎ ‎(2)错误.p且q是真命题,则p,q都是真命题.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(选修1-1P14练习(2)改编)命题“任意x∈R,x2+x≥0”的否定是(  )‎ A.存在x0∈R,x+x0≤0 B.存在x0∈R,x+x0<0‎ C.任意x∈R,x2+x≤0 D.任意x∈R,x2+x<0‎ 解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.‎ 答案 B ‎3.(选修1-1P18习题1-4T2(4)改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题 綈p,綈q,p或q,p且q中真命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.‎ 答案 B ‎4.(2019·南昌调研)下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x0∈R,lg x0=1 B.存在x0∈R,sin x0=0‎ C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0‎ 解析 当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,任意x∈R,2x>0,则D为真命题.‎ 答案 C ‎5.(2018·安徽江南十校模拟)已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由綈p为真知,p为假,可得p且q为假;反之,若p且q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎6.(2019·豫南五校联考)若“任意x∈,m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为________.‎ 解析 由x∈,∴1≤tan x+2≤2+.‎ ‎∵“任意x∈,m≤tan x+2”为真命题,则m≤1.‎ ‎∴实数m的最大值为1.‎ 答案 1‎ 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎【例1】 (1)设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是(  )‎ A.p或q B.p且q C.(綈p)且(綈q) D.p且(綈q)‎ ‎(2)(2018·太原模拟)已知命题p:存在x0∈R,x-x0+1≥0;命题q:若a,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q)‎ 解析 (1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.‎ 又a,b,c是非零向量,‎ 由a∥b知a=xb(x∈R),由b∥c知b=yc(y∈R),‎ ‎∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.‎ 综上知p或q是真命题,p且q是假命题.‎ 綈p为真命题,綈q为假命题.‎ ‎∴(綈p)且(綈q),p且(綈q)都是假命题.‎ ‎(2)∵x2-x+1=+≥>0,所以存在x0∈R,使x-x0+1≥0成立,故p为真命题,綈p为假命题.又易知命题q为假命题,所以綈q为真命题,所以p且 ‎(綈q)为真命题.‎ 答案 (1)A (2)B 规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.‎ ‎2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,綈p则是“与p的真假相反”.‎ ‎【训练1】 (1)(2019·济南模拟)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题,则(  )‎ A.命题p与命题q都是真命题 B.命题p与命题q都是假命题 C.命题p是真命题,命题q是假命题 D.命题p是假命题,命题q是真命题 ‎(2)(2017·山东卷)已知命题p:存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a20恒成立,‎ ‎∴p是真命题,綈p为假命题.‎ ‎∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<(-2)2,但-1>-2,‎ ‎∴q为假命题,綈q为真命题.‎ ‎∴p且綈q为真命题,p且q,綈p且q,綈p且綈q为假命题.‎ 答案 (1)D (2)B 考点二 全称量词与存在量词 多维探究 角度1 含有量词命题的否定 ‎【例2-1】 命题“任意n∈N+,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.任意n∈N*,f(n)∉ N+且f(n)>n B.任意n∈N*,f(n)∉ N+或f(n)>n C.存在n0∈N*,f(n0)∉ N+且f(n0)>n0‎ D.存在n0∈N*,f(n0)∉ N+或f(n0)>n0‎ 解析 全称命题的否定为特称命题,‎ ‎∴命题的否定是:存在n0∈N+,f(n0)∉ N+或f(n0)>n0.‎ 答案 D 角度2 全称(特称)命题的真假判断 ‎【例2-2】 (1)(2019·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(  )‎ A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)‎ B.任意x∈R,f(-x)≠-f(x)‎ C.存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0)‎ D.存在x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)‎ ‎(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p:任意x∈R,x+≥2;命题q:存在x0∈(0,+∞),x>x,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.(綈p)且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.p且q 解析 (1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴任意x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.‎ ‎(2)对于p:当x=-1时,x+=-2,∴p为假命题.取x0∈(0,1),此时x>x,∴q为真命题.‎ 从而綈p为真命题,(綈p)且q为真命题.‎ 答案 (1)C (2)A 规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.‎ ‎2.判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.‎ ‎【训练2】 (1)(2019·河北“五个一”名校联考)命题“存在x0∈R,12‎ D.任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2‎ ‎(2)已知命题p:存在x0∈(-∞,0),2x0<3x0;命题q:任意x∈,sin x2”.‎ ‎(2)因为当x<0时,>1,即2x>3x,所以命题p为假命题,从而綈p为真命题;因为当x∈时,x>sin x,所以命题q为真命题,所以(綈p)且q为真命题.‎ 答案 (1)D (2)C 考点三 由命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】 (1)(2018·宝鸡调研)已知命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题q:存在x0∈[-2,2],2a≤2x0,若命题p且q为真命题,则实数a的取值范围为________.‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.‎ 解析 (1)由题知,命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,即x2+x+a-1>0恒成立,所以Δ=1-4(a-1)<0,解得a>;命题q:存在x0∈[-2,2],使得2a≤2x0,则a≤2.当p且q为真命题时,须满足故实数a的取值范围为.‎ ‎(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.‎ 答案 (1) (2) 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:‎ ‎(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎2.全称命题可转化为恒成立问题.‎ 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.‎ ‎【训练3】 本例(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是____________.‎ 解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,对任意x1∈[0,3],任意x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥.‎ 答案  ‎[思维升华]‎ ‎1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.‎ ‎2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题的区别;否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.正确区别命题的否定与否命题 ‎“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“綈p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真.‎ ‎2.几点注意:‎ ‎(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提;‎ ‎(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;‎ ‎(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”.‎ 逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题 ‎ 逻辑推理的关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.‎ 类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”‎ ‎【例1】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=x-,若对任意x1∈‎ ‎[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.‎ 解 由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为.‎ 令h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h′(x)=6x+2,由h′(x)=0得x=-.‎ 当x∈时,h′(x)<0;当x∈时,h′(x)>0,所以[h(x)]min=h=-a2-2a-.‎ 又由题意可知,h(x)的值域是的子集,所以 解得实数a的取值范围是[-2,0].‎ 评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.‎ 类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”‎ ‎【例2】 已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.‎ 解 由题意,易得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为,并且两个值域有公共部分.‎ 先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-k<0,解得k<或k>,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是.‎ 评析 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.‎ 类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)0”是真命题.‎ 则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得00,得3x+1>1,所以0<<1,‎ 所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.‎ 所以p且q为假命题,p或q为真命题,p且(綈q)为假命题,綈q为假命题.‎ 答案 B ‎5.已知命题p:“任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“存在x0∈R,x+4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,-1)‎ 解析 由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ 答案 C ‎6.(2019·淮北模拟)命题p:若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:若 cos α·cos β=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是(  )‎ A.p B.綈q C.p且q D.p或q 解析 当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,命题p是假命题;‎ 若cos αcos β=1,则cos α=cos β=1或cos α=cos β=-1,所以sin α=sin β=0,从而sin(α+β)=0,命题q是真命题,所以p或q是真命题.‎ 答案 D ‎7.已知命题p:任意x∈R,2x<3x,命题q:存在x∈R,x2=2-x,若命题(綈p)且q为真命题,则x的值为(  )‎ A.1 B.-1 C.2 D.-2‎ 解析 要使(綈p)且q为真,所以綈p与q同时为真,而綈p:存在x∈R ‎,2x≥3x,‎ 由2x≥3x得≥1,所以x≤0.‎ 由x2=2-x得x2+x-2=0,所以x=1或x=-2.‎ 又x≤0,所以x=-2.‎ 答案 D ‎8.已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.(1,+∞)‎ C. D.∪(1,+∞)‎ 解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,‎ 命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,‎ ‎∴原命题的否定是:“存在x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,‎ ‎∴f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,‎ ‎∴(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1,‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).‎ 答案 D 二、填空题 ‎9.若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 解析 ∵函数y=tan x在上是增函数,∴ymax=tan =1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.‎ 答案 1‎ ‎10.已知命题p:>0,则綈p对应的集合为__________.‎ 解析 由p:>0,得p:x>2或x<-1,所以綈p对应的集合为{x|-1≤x≤2}.‎ 答案 {x|-1≤x≤2}‎ ‎11.下列结论:‎ ‎①若命题p:存在x0∈R,tan x0=1;命题q:任意x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且(綈q)”是假命题;‎ ‎②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.‎ 其中正确结论的序号为________.‎ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,‎ 所以p且(綈q)为假命题,故①正确;‎ ‎②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;‎ ‎③正确,所以正确结论的序号为①③.‎ 答案 ①③‎ ‎12.已知命题p:存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,命题q:任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p且q为假命题,则实数m的取值范围为________.‎ 解析 由命题p:存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0可得m≤-1;由命题q:任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立,即Δ=m2-4<0,可得-2-1.‎ 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎13.命题“任意x∈R,存在n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是(  )‎ A.任意x∈R,存在n∈N+,使得n0,2x-a>0.若“綈p”和“p且q”都是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2)∪(1,+∞)   B.(-2,1]‎ C.(1,2)   D.(1,+∞)‎ 解析 方程x2+ax+1=0没有实根等价于Δ=a2-4<0,即-20,2x-a>0等价于a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1.‎ 因“綈p”是假命题,则p是真命题,又因“p且q”是假命题,则q是假命题.‎ ‎∴解得10,当m<0时,m-x2<0,‎ 所以命题p为假命题;‎ 当m=时,因为f(-1)=3-1=,‎ 所以f[f(-1)]=f=-=0,‎ 所以命题q为真命题,‎ 逐项检验可知,只有(綈p)且q为真命题.‎ 答案 ②‎ ‎16.(2019·深圳质检)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.‎ ‎(1)若a=1,且p且q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若a>0且綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,‎ 当a=1时,10,所以a