2019年高考数学总复习检测第33讲　平面向量的应用 3页

第33讲　平面向量的应用 ‎1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(B)‎ A. |v1|<|v2| B. |v1|>|v2|‎ C. |v1|＝|v2| D. |v1|与|v2|的大小不确定 ‎2．(2017·新课标卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(A)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ ‎ (方法一)因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，‎ 所以a·b＝0，所以a⊥b.‎ ‎(方法二)利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ ‎3．已知O、N、P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的(C)‎ A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 ‎ 由||＝||＝||知，O为△ABC的外心．‎ 由＋＋＝0知，N为△ABC的重心．‎ 由·＝·⇒(－)·＝0⇒⊥，‎ 同理，⊥，⊥，所以P为△ABC的垂心．‎ ‎4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(D)‎ A．[－2,2] B. [－2,3] ‎ C. [－3,2] D. [－3,3]‎ ‎ 因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，‎ 则z＝2x＋3y，x，y满足不等式＋≤1，‎ 画出可行域如下：‎ 当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3，当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.‎ ‎5．两人一起提重为|G|的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F|，则|F|与|G|的关系是　|F|＝　.‎ ‎ 按力的平行四边形法则有|F|＝.‎ ‎6．在正三角形ABC中，D是BC边上的点，若AB＝3，＝2，则·＝　　.‎ ‎ 如图，在△ABD中，‎ ·＝·(＋)‎ ‎＝2＋· ‎＝9＋||·||·cos 120°‎ ‎＝9－＝.‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2，3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎ (1)因为m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，‎ 所以＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)．‎ 所以||＝＝2.‎ ‎(2)因为＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n), ‎ 即两式相减得：m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图可知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎8．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，实数m，n满足c＝ma＋nb，则(m－3)2＋n2的最大值为(D)‎ A．2 B．4 ‎ C．8 D．16‎ ‎ 因为c＝ma＋nb，‎ 所以(cos θ，sin θ)＝m(1,1)＋n(1，－1)，‎ 所以 ‎①2＋②2得m2＋n2＝1.‎ ‎①＋②得m＝cos θ＋sin θ，即m＝sin(θ＋)．‎ 所以－1≤m≤1.‎ 所以(m－3)2＋n2＝10－6m≤16，‎ 即(m－3)2＋n2的最大值为16.‎ ‎9．已知A(a,0)、B(3,2＋a)，直线y＝ax与线段AB的交点为M，且＝2，则a＝　－4或2　.‎ ‎ 设M(x0，y0)，由＝2，得 ‎(x0－a，y0)＝2(3－x0,2＋a－y0)，‎ 则又y0＝ax0，‎ 所以解得a＝－4或2.‎ ‎10．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA.‎ ‎ 如图，设＝a，＝b，‎ 则＝a，＝b＋a，‎ 设＝ma＋nb，‎ 因为O，E，D三点共线，所以＝.①‎ ＝－＝(m－1)a＋nb，＝b－a，‎ 又A，E，B三点共线，所以＝，即m＋n－1＝0.②‎ 由①②解得m＝，n＝3m＝，‎ 故＝a＋b.‎ 所以＝－＝a＋b－b＝a－b，‎ 又＝a－b，‎ 所以＝，即BE＝BA.‎