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- 2021-06-10 发布
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7.2 一元二次不等式及其解法
1.“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两个相异实根
x1，x2(x10
(a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
(－∞，－)∪
(－，＋∞)
R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
(x1，x2)
∅
∅
2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.
( √ )
1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是______________.
答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
解析 解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，
由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).
2.(教材改编)不等式<0的解集是__________.
答案 {x|x<或x>4}
解析 不等式<0等价于(x－)(x－4)>0，
∴不等式的解集是{x|x<或x>4}.
3.(教材改编)不等式的解集为_________.
答案 (－1,2)
解析 由题意得x2－x<2⇒－10的解集是(－，)，则a＋b＝________.
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
5.不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________.
答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析 ∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，
则x2＋ax＋4＝0一定有解.
∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2016·南京模拟)求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.
解 化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，
即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞).
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.
解 由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|11.
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0，得1，解(x－)(x－1)<0，得11}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当01时，解集为{x|0，则a的取值范围是_______.
答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)
解析 (1)∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，
∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有解得－30，则必有或a＝0，∴0≤a<4.
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3].
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可.
所以m的取值范围是.
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.
解 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零.
思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.
答案 (－，0)
解析 作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有
即解得－，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即
不等式组的解集为空集，即m无解.
综上可知，不存在这样的m.
题型三 一元二次不等式的应用
例6 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
解 (1)根据题意，得
200(5x＋1－)≥3 000，
整理得5x－14－≥0，
即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元，则
y＝·100(5x＋1－)
＝9×104(5＋－)
＝9×104[－3(－)2＋]，
故当x＝6时，ymax＝457 500元.
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.
某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方法来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为________________.
答案 12元到16元之间
解析 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得120恒成立，则实数a的取值范围是________.
思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.
解析 (1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b
＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝2.
又∵f(x)0恒成立，
即x2＋2x＋a>0恒成立.
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立.
而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
∴实数a的取值范围是{a|a>－3}.
答案 (1)9 (2){a|a>－3}
1.(教材改编)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.
答案 ∅
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4＜0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，
所以3x2－5x＋4＝0无解.
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.
2.(教材改编)不等式≤0的解集为__________.
答案 (－，1]
解析 原不等式等价于
即即－0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是________________.
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 由题意得f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，
由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，
∴x<－或x>.
6.若不等式x2－2x＋k2－2>0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则实数k的取值范围是________.
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 由x2－2x＋k2－2>0，得k2>－x2＋2x＋2，
设f(x)＝－x2＋2x＋2，f(x)＝－(x－1)2＋3，当x≥2，可求得f(x)max＝2，则k2>f(x)max＝2，所以k>或k<－.
7.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是______.
答案 (2,3)
解析 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，
所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3).
8.(教材改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝500＋30x元.若使得日获利不少于1 300元，则该厂日产量所要满足的条件是__________.
答案 [20,45]
解析 由题意得(160－2x)·x－(500＋30x)≥1 300，
解得20≤x≤45.
9.已知关于x的不等式<0的解集是{x|x<－1或x>－}，则实数a＝______.
答案 －2
解析 <0⇔(x＋1)(ax－1)<0，
依题意，得a<0，且＝－.∴a＝－2.
10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是___________________.
答案 {x|－70，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，
故有f(x)＝再求f(x)<5的解，
由得0≤x＜5；
由得－51，即02时，解集为{x|1}；
当a<0时，解集为{x|x<或x>1}.
13.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)
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