浙江专用2020高考数学二轮复习专题三数列与数学归纳法第3讲数列的综合问题专题强化训练 7页

第3讲 数列的综合问题 专题强化训练 ‎1．(2019·台州市高三期末考试)在正项数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)证明：an≥()n－1.‎ 解：(1)因为在正项数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝2an－(n∈N*)，‎ 所以a2＝2×1－＝，‎ a3＝2×－＝.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，由已知a1＝1≥()1－1＝1，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥()k－1，‎ 因为f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以ak＋1＝2ak－≥2()k－1－ ‎＝()k＋()k－ ‎＝()k＋ ‎＝()k＋，‎ 因为k≥1，所以2×()k－3≥2×－3＝0，‎ 所以ak＋1≥()k，‎ 即当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．‎ - 7 -‎ ‎2．(2019·嘉兴调研)已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈(0，2)，a＋3an＋2＝6Sn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．‎ 解：(1)当n＝1时，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6a1，即a－3a1＋2＝0.‎ 又a1∈(0，2)，解得a1＝1.‎ 由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1.‎ 两式相减，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.‎ 由于an＞0，可得an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，‎ 所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.‎ ‎(2)由an＝3n－2 ，可得 bn＝＝ ‎＝，‎ Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝.‎ 因为Tn＝＝－随着n的增大而增大，所以数列{Tn}是递增数列，‎ 所以t≤4Tn⇔≤Tn⇔≤T1＝⇔t≤1，所以实数t的最大值是1.‎ ‎3．(2019·金华模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1an＝2an＋1－1(n∈N*)，令bn＝an－1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求证：c1＋c2＋…＋cn7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．‎ 解：(1)由f1(－1)＝－a1＝－1得a1＝1，‎ 由f2(－1)＝－a1＋a2＝2，得a2＝3，‎ 又因为f3(－1)＝－a1＋a2－a3＝－3，‎ 所以a3＝5.‎ ‎(2)由题意得：fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n，‎ fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n－1an－1‎ ‎＝(－1)n－1·(n－1)，n≥2，‎ 两式相减得：‎ ‎(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n－1·(n－1)＝(－1)n(2n－1)，‎ 得当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝1符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(3)证明：令bn＝＝n，‎ 则S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，‎ 所以2S＝＋＋＋…＋.(*)‎ 当x>0，y>0时，x＋y≥2，＋≥2，‎ 所以(x＋y)≥4，‎ 所以＋≥，当且仅当x＝y时等号成立，上述(*)式中，k>7，n>0，n＋1，n＋2，…，nk－1全为正，所以2S>＋＋＋…＋＝，‎ 所以S>>＝2 ‎>2＝，得证．‎ ‎7．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a＋2an，n∈N*，设bn＝log2(an＋1)．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；‎ - 7 -‎ ‎(3)若2cn＝bn，求证：2≤()n＜3.‎ 解：(1)由an＋1＝a＋2an，则an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，‎ 由a1＝3，则an＞0，两边取对数得到 log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，即bn＋1＝2bn.‎ 又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，‎ 所以{bn}是以2为公比的等比数列．‎ 即bn＝2n.‎ 又因为bn＝log2(an＋1)，‎ 所以an＝22n－1.‎ ‎(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝2时，左边为1＋＋＝＜2＝右边，此时不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，‎ 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋＜k＋＜k＋1＝右边，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立．‎ ‎(3)证明：由2cn＝bn得cn＝n，‎ 所以()n＝()n＝(1＋)n，‎ 首先(1＋)n＝C＋C＋C＋…＋‎ C＋…＋C≥2，‎ 其次因为C＝＜≤＝－(k≥2)，‎ 所以(1＋)n＝C＋C＋C＋…＋‎ C＋…＋C，‎ ‎＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，‎ 当n＝1时显然成立．所以得证．‎ - 7 -‎ ‎8．数列{an}满足a1＝，an＝(n≥2，n∈N)．‎ ‎(1)试判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(2)设bn＝ansin，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，Tn＜.‎ 解：(1)an＝⇒＝＝(－1)n－，‎ 所以＋(－1)n＝2·(－1)n－⇒所以＋(－1)n＝(－2)·，‎ 所以为公比是－2的等比数列．‎ ‎(2)证明：＋(－1)1＝3，由(1)可得 ＋(－1)n＝·(－2)n－1＝3·(－2)n－1，‎ 所以an＝.‎ 而sin＝(－1)n－1，‎ 所以bn＝an·sin＝＝，所以bn＝＜，‎ 当n≥3时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜(b1＋b2)＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＜＋＋＝＜.‎ 因为{bn}为正项数列，所以T1＜T2＜T3＜…＜Tn，‎ 所以n∈N*，Tn＜.‎ - 7 -‎