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- 2021-05-13 发布
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2009届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法
1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值; (2)求数列{}的通项公式。
2. 设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列.
(1)试问是否成等差数列?为什么?
(2)如果,求数列的前项和.
3. 已知等差数列{}中,=8,=66.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设,,求证:.
4. 已知数列{}中,(n≥2,),数列,满足()
(1)求证数列{}是等差数列;
(2)求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)记…,求.
5. 已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=,
(Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;
(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;
(Ⅲ)若a1 = 2,设bn = | an+1-an| (n = 1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.
6. (1)已知:,求证;
(2)已知:,求证:。
7. 已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有(p为大于1的常数),并记 .
(1)求;
(2)比较与的大小;
(3)求证:().
8. 已知,各项为正的等差数列满足
,又数列的前项和是
。
(1)求数列的通项公式;
(2)求证数列是等比数列;
(3)设,试问数列有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。
9. 设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m
(1) 求证:是等比数列;
若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.
10. 已知数列满足:且,.
(Ⅰ)求,,,的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和;
11. 将等差数列所有项依次排列,并作如下分组:…第一组1项,第二组2项,第三组4项,…,第n组项。记为第n组中各项的和。已知。
(1)求数列的通项;
(2)求的通项公式;
(3)设的前n项的和为,求。
12. 设各项为正数的等比数列的首项,前n项和为,且。
(Ⅰ)求的通项;
(Ⅱ)求的前n项和。
13. 设数列是首项为0的递增数列,(), 满足:对于任意的总有两个不同的根。
(1)试写出,并求出;
(2)求,并求出的通项公式;
(3)设,求。
14. 已知数列,其中是首项为1,公差为1
的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(Ⅲ)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,
把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论? (所得的结论不必证明)
15. 一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍.
(1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论;
(2)记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.
16. 已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数),且a1=1,a3=4.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式an;
(3)设数列的前n项和为Tn,试比较与Sn的大小.
17. 定义:若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,且,其中为正整数.
(1)设,证明:数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列” 的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式;
(3)记,求数列的前项之和,并求使的的最小值.
18. 在不等边△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,,依次成等差数列,给定数列,,.
(1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号:
数列,,( ).
A.是等比数列而不是等差数列 B.是等差数列而不是等比数列
C.既是等比数列也是等差数列 D.既非等比数列也非等差数列
(2)证明你的判断.
19. 已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S10=185,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.
20. 已知数列{an}中,,(n=2,3,4,…)
(I)求的值;
(II)证明当n=2,3,4,…时,
21. 已知等差数列{}中,是其前n项的和且
(I)求数列{}的通项公式。
(II)若从数列{}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第项,按原来的顺序组成一个新数列{},求数列{}的前n项和。
22. 已知正项等比数列{}满足条件:①;②,求{}的通项公式.
23. 已知函数f(x)=(ax+b)图象过点A(2,1)和B(5,2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)记,,是否存在正数k,使得…对一切均成立,若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R
(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;
(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论。
25. 已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又与的等比中项是,与的等差中项是6,求an。
26. 和分别是等比数列和等差数列,它们的前四项和分别为120和60,而第二项与第四项的和分别是90和34,令集合,,,…,,,,,…,.求证:.
27. 已知曲线C:, : ()。从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,
设。
(I)求的坐标;
(II)求数列的通项公式;
(III)记数列的前项和为,求证:
答案:
1. 解:①由条件可得,代入得
② ∴;代入曲线并整理得,∴于是当时,
即又当;,故 ∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, 。
2. 由题意,得, (1)
(2)
(1)因为,所以由式(2)得,从而当时,,
代入式(1)得,
即,故是等差数列.
(2)由及式(1),式(2),易得
因此的公差,从而,
得 (3)
又也适合式(3),得,
所以,
从而
3. 解:(Ⅰ)
(Ⅱ),
,
=
而是递增数列 , .
4. (1),
而 ,
∴ .
∴ {}是首项为,公差为1的等差数列.
(2)依题意有,而,
∴ .
对于函数,在x>3.5时,y>0,,在(3.5,)上为减函数.
故当n=4时,取最大值3
而函数在x<3.5时,y<0,,在(,3.5)上也为减函数.
故当n=3时,取最小值,=-1.
(3),,
∴ .
5. (Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1== an
又依a1>0,可得an>0并解出:an=,即a1 = an =
(Ⅱ)研究an+1-an=-= (n≥2)
注意到>0
因此,可以得出:an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号7’
要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2-a1>0即可.
由>0,解得:0时,an+1,
故Sn<2-=
6. (1)令,由x>0,∴t>1,
原不等式等价于
令f(t)=t-1-lnt,
∵当时,有,∴函数f(t)在递增
∴f(t)>f(1) 即t-1g(1)=0
∴
综上得
(2)由(1)令x=1,2,……(n-1)并相加得
即得
7. (1)易求得
(2)
作差比较易得:
(3)当时,不等式组显然成立.
当
由(2)知
再证
而
同理:,,……,
以上各式相加得:
即 .
8. (1),又
或
若,则,与矛盾;
若,则,显然,
(2),
当时,,欧
时,,
数列是以9为首项,为公比的等比数列。
(3),设是数列中的最大项,则
由 可得
数列有最大项,最大项是。
9. (1)由
∴是等比数列。
(2)
10. (Ⅰ)经计算,,,.
当为奇数时,,即数列的奇数项成等差数列,
;
当为偶数,,即数列的偶数项成等比数列,
.
因此,数列的通项公式为.
(Ⅱ),
……(1)
…(2)
(1)、(2)两式相减,
得
.
.
11. 设的公差为d,首项为,则
(1)
(2)
解得,则。
(2)当时,在前n-1组中共有项数为:。故第n组中的第一项是数列中的第项,且第n组中共有项。
所以
当n=1时,也适合上式,故。
(3)。即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数
。
则
12. (Ⅰ)由 得
即
可得
因为,所以 解得,因而
(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故
则数列的前n项和
前两式相减,得
即
13. (1)∵,当时,,,
又∵对任意的,总有两个不同的根,∴
∴,
由(1),
∵对任意的,总有两个不同的根, ∴
∵对任意的,总有两个不同的根, ∴
由此可得,
(1) 当,
∴
当,
∴
14. (1).
(2),,
当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.
15. (1)由已知得
当时,, 1分
同理可得 3分 猜想
下面用数学归纳法证明成立
①当时,由上面的计算结果知成立 6分
②假设时,成立,即 ,
那么当时,
即
当时,也成立
综合①②所述,对 ,成立。
(2)由(1)可得
16. (I)解:由得
,
(II)由,
∴数列{}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,
当n=1时a1=1满足
(III)①
,②
①-②得,
则.
当n=1时,
即当n=1或2时,
当n>2时,
17. (1)由条件an+1=2an2+2an, 得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1×lg5,∴2an+1=5,∴an=(5-1).
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.
∴Tn=5.
(3)cn====2-,
∴Sn=2n-[1+++…+]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2.
由Sn>2008得2n-2+2>2008,n+>1005,
当n≤1004时,n+<1005,当n≥1005时,n+>1005,∴n的最小值为1005.
18. (1)B (2)因为、、成等差数列,所以,
所以.又,,
.显然,即、、成等差数列.若其为等比数列,有,所以,,与题设矛盾
19. (1) 解得
(2)……7分 是公比为8的等比数列……10分
20. (I),
4分
(II)当k=2,3,4,5,…时,
∴,∴
∴,∴
∵,
∴
∴
∴,∴
∴
21. (I)设数列的公差为d,则,
又
由(1)(2)得
数列的通项公式
(II)
数列的前n项和
22. 设等比数列的公比为q,由已知条件,
得
①÷②得:,所以 .①×②,得,
即 .或.(舍去)
由 得:
∴
23. (1)由已知,得解得:.
∴
(2).
设存在正数k,使得…对一切均成立,
则….记…
,则….
∵ .
∴ ,∴ F(n)是随n的增大而增大,
∵ ,∴ 当时,.
∴ ,即k的最大值为.
24. (1)∵f(1),f(2),f(4)成等差数列,
∴f(1)+f(4)=2f(2).
即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2
∴(m+1)(m+4)=(m+2)2
即m2+5m+4=m2+4m+4
∴m=0
(2) ∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],
2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,
∵a,b,c成等比数列,
∴
∵(a+m)(c+m)-(b+m)2
=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2
=ac+m(a+c)-b2-2bm
=m(a+c)-2m
∵a>0,c>0.
∴a+c≥2
①m>0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2>0,
∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2
∴f(a)+f(c)>2f(b);
②m<0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,
∴log2[(a+m)(c+m)]