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  • 2021-05-13 发布

高考数学140分难点突破训练——数列与数学归纳法含详解

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‎2009届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法 ‎1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值; (2)求数列{}的通项公式。‎ ‎ ‎ ‎2. 设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列.‎ ‎(1)试问是否成等差数列?为什么?‎ ‎(2)如果,求数列的前项和.‎ ‎3. 已知等差数列{}中,=8,=66. ‎ ‎(Ⅰ)求数列{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,求证:.‎ ‎4. 已知数列{}中,(n≥2,),数列,满足()‎ ‎  (1)求证数列{}是等差数列;‎ ‎  (2)求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由;‎ ‎  (3)记…,求.‎ ‎5. 已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=,‎ ‎ (Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;‎ ‎ (Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;‎ ‎ (Ⅲ)若a1 = 2,设bn = | an+1-an| (n = 1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.‎ ‎6. (1)已知:,求证;‎ ‎(2)已知:,求证:。‎ ‎7. 已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有(p为大于1的常数),并记 .‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)比较与的大小;‎ ‎(3)求证:().‎ ‎8. 已知,各项为正的等差数列满足 ‎,又数列的前项和是 ‎。‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求证数列是等比数列;‎ ‎(3)设,试问数列有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。‎ ‎9. 设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m (1) 求证:是等比数列;‎ 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.‎ ‎10. 已知数列满足:且,.‎ ‎(Ⅰ)求,,,的值及数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和;‎ ‎11. 将等差数列所有项依次排列,并作如下分组:…第一组1项,第二组2项,第三组4项,…,第n组项。记为第n组中各项的和。已知。‎ ‎(1)求数列的通项;‎ ‎(2)求的通项公式;‎ ‎(3)设的前n项的和为,求。‎ ‎12. 设各项为正数的等比数列的首项,前n项和为,且。‎ ‎(Ⅰ)求的通项;‎ ‎(Ⅱ)求的前n项和。‎ ‎13. 设数列是首项为0的递增数列,(), 满足:对于任意的总有两个不同的根。‎ ‎(1)试写出,并求出;‎ ‎(2)求,并求出的通项公式;‎ ‎(3)设,求。‎ ‎14. 已知数列,其中是首项为1,公差为1‎ 的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().‎ ‎(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)试写出关于的关系式,并求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,‎ 把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论? (所得的结论不必证明)‎ ‎15. 一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍.‎ ‎(1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论;‎ ‎(2)记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.‎ ‎16. 已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数),且a1=1,a3=4.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式an;‎ ‎(3)设数列的前n项和为Tn,试比较与Sn的大小.‎ ‎17. 定义:若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,且,其中为正整数.‎ ‎(1)设,证明:数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;‎ ‎(2)设(1)中“平方递推数列” 的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式;‎ ‎(3)记,求数列的前项之和,并求使的的最小值.‎ ‎18. 在不等边△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,,依次成等差数列,给定数列,,.‎ ‎  (1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号:‎ ‎  数列,,( ).‎ ‎  A.是等比数列而不是等差数列  B.是等差数列而不是等比数列 ‎  C.既是等比数列也是等差数列  D.既非等比数列也非等差数列 ‎  (2)证明你的判断.‎ ‎19. 已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S10=185,‎ ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.‎ ‎20. 已知数列{an}中,,(n=2,3,4,…)‎ ‎ (I)求的值;‎ ‎ (II)证明当n=2,3,4,…时,‎ ‎21. 已知等差数列{}中,是其前n项的和且 ‎ (I)求数列{}的通项公式。‎ ‎ (II)若从数列{}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第项,按原来的顺序组成一个新数列{},求数列{}的前n项和。‎ ‎22. 已知正项等比数列{}满足条件:①;②,求{}的通项公式.‎ ‎23. 已知函数f(x)=(ax+b)图象过点A(2,1)和B(5,2).‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎  (2)记,,是否存在正数k,使得…对一切均成立,若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.‎ ‎24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R ‎(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;‎ ‎(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论。‎ ‎25. 已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又与的等比中项是,与的等差中项是6,求an。‎ ‎26. 和分别是等比数列和等差数列,它们的前四项和分别为120和60,而第二项与第四项的和分别是90和34,令集合,,,…,,,,,…,.求证:.‎ ‎27. 已知曲线C:, : ()。从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,‎ 设。 ‎ ‎ (I)求的坐标;‎ ‎ (II)求数列的通项公式;‎ ‎(III)记数列的前项和为,求证:‎ 答案:‎ ‎1. 解:①由条件可得,代入得 ‎ ‎② ∴;代入曲线并整理得,∴于是当时,‎ 即又当;,故 ∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, 。‎ ‎2. 由题意,得, (1)‎ ‎ (2) ‎ ‎(1)因为,所以由式(2)得,从而当时,,‎ 代入式(1)得,‎ 即,故是等差数列.‎ ‎(2)由及式(1),式(2),易得 ‎ 因此的公差,从而,‎ 得 (3)‎ 又也适合式(3),得,‎ 所以,‎ 从而 ‎ ‎3. 解:(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎,‎ ‎ = ‎ 而是递增数列 , . ‎ ‎4. (1),‎ ‎  而 ,‎ ‎  ∴ .‎ ‎  ∴ {}是首项为,公差为1的等差数列.‎ ‎  (2)依题意有,而,‎ ‎  ∴ .‎ ‎  对于函数,在x>3.5时,y>0,,在(3.5,)上为减函数.‎ ‎  故当n=4时,取最大值3‎ ‎  而函数在x<3.5时,y<0,,在(,3.5)上也为减函数.‎ ‎  故当n=3时,取最小值,=-1.‎ ‎  (3),,‎ ‎  ∴ .‎ ‎5. (Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1== an ‎ ‎ 又依a1>0,可得an>0并解出:an=,即a1 = an = ‎ ‎ (Ⅱ)研究an+1-an=-= (n≥2) ‎ 注意到>0‎ 因此,可以得出:an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号7’‎ 要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2-a1>0即可.‎ 由>0,解得:0时,an+1, ‎ ‎ 故Sn<2-=‎ ‎6. (1)令,由x>0,∴t>1,‎ 原不等式等价于 令f(t)=t-1-lnt,‎ ‎∵当时,有,∴函数f(t)在递增 ‎∴f(t)>f(1) 即t-1g(1)=0‎ ‎∴‎ 综上得 ‎(2)由(1)令x=1,2,……(n-1)并相加得 即得 ‎7. (1)易求得 ‎(2)‎ 作差比较易得:‎ ‎(3)当时,不等式组显然成立.‎ ‎ 当 由(2)知 ‎ 再证 而 同理:,,……,‎ 以上各式相加得:‎ 即 .‎ ‎8. (1),又 ‎ 或 ‎ ‎ 若,则,与矛盾;‎ ‎ 若,则,显然,‎ ‎ ‎ ‎(2),‎ ‎ 当时,,欧 ‎ 时,,‎ ‎ ‎ ‎ 数列是以9为首项,为公比的等比数列。 ‎ ‎(3),设是数列中的最大项,则 ‎ 由 可得 数列有最大项,最大项是。‎ ‎9. (1)由 ‎∴是等比数列。‎ ‎(2)‎ ‎10. (Ⅰ)经计算,,,. ‎ 当为奇数时,,即数列的奇数项成等差数列,‎ ‎; ‎ 当为偶数,,即数列的偶数项成等比数列,‎ ‎. ‎ 因此,数列的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎ ……(1)‎ ‎ …(2)‎ ‎(1)、(2)两式相减,‎ 得 ‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎11. 设的公差为d,首项为,则 ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ 解得,则。‎ ‎(2)当时,在前n-1组中共有项数为:。故第n组中的第一项是数列中的第项,且第n组中共有项。‎ 所以 当n=1时,也适合上式,故。‎ ‎(3)。即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数 ‎。‎ 则 ‎12. (Ⅰ)由 得 ‎ 即 可得 因为,所以 解得,因而 ‎ ‎ (Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故 则数列的前n项和 ‎ 前两式相减,得 ‎ ‎ 即 ‎ ‎13. (1)∵,当时,,, ‎ ‎ 又∵对任意的,总有两个不同的根,∴‎ ‎∴, ‎ 由(1),‎ ‎ ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴ ‎ ‎ ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴‎ 由此可得, ‎ (1) 当,‎ ‎∴ ‎ 当,‎ ‎∴‎ ‎14. (1). ‎ ‎(2),,‎ 当时,. ‎ ‎(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. ‎ 研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎15. (1)由已知得 ‎ 当时,, 1分 同理可得 3分 猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明成立 ‎①当时,由上面的计算结果知成立 6分 ‎②假设时,成立,即 ,‎ 那么当时,‎ 即 ‎ 当时,也成立 ‎ 综合①②所述,对 ,成立。 ‎ ‎(2)由(1)可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. (I)解:由得 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ (II)由,‎ ‎ ∴数列{}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎ ‎ ‎ 当n=1时a1=1满足 ‎ ‎ (III)①‎ ‎ ,②‎ ‎ ①-②得,‎ ‎ 则. ‎ ‎ ‎ ‎ 当n=1时,‎ ‎ 即当n=1或2时,‎ ‎ 当n>2时, ‎ ‎17. (1)由条件an+1=2an2+2an, 得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.‎ ‎(2)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1×lg5,∴2an+1=5,∴an=(5-1).‎ ‎∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.‎ ‎∴Tn=5.‎ ‎(3)cn====2-,‎ ‎∴Sn=2n-[1+++…+]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2.‎ 由Sn>2008得2n-2+2>2008,n+>1005,‎ 当n≤1004时,n+<1005,当n≥1005时,n+>1005,∴n的最小值为1005.‎ ‎18. (1)B (2)因为、、成等差数列,所以,‎ 所以.又,,‎ ‎.显然,即、、成等差数列.若其为等比数列,有,所以,,与题设矛盾 ‎19. (1) 解得 ‎ ‎ (2)……7分 是公比为8的等比数列……10分 ‎ ‎ ‎20. (I),‎ ‎ 4分 ‎ (II)当k=2,3,4,5,…时,‎ ‎ ‎ ‎ ∴,∴‎ ‎ ∴,∴ ‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴,∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎21. (I)设数列的公差为d,则,‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 由(1)(2)得 ‎ 数列的通项公式 ‎ ‎ (II)‎ ‎ ‎ ‎ 数列的前n项和 ‎ ‎22. 设等比数列的公比为q,由已知条件,‎ ‎  得 ‎  ①÷②得:,所以 .①×②,得,‎ ‎  即 .或.(舍去)‎ ‎  由  得: ‎ ‎  ∴ ‎ ‎23. (1)由已知,得解得:.‎ ‎  ∴ ‎ ‎  (2).‎ ‎  设存在正数k,使得…对一切均成立,‎ ‎  则….记…‎ ‎,则….‎ ‎  ∵ .‎ ‎  ∴ ,∴ F(n)是随n的增大而增大,‎ ‎  ∵ ,∴ 当时,.‎ ‎  ∴ ,即k的最大值为.‎ ‎24. (1)∵f(1),f(2),f(4)成等差数列,‎ ‎∴f(1)+f(4)=2f(2).‎ 即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2‎ ‎∴(m+1)(m+4)=(m+2)2‎ 即m2+5m+4=m2+4m+4‎ ‎∴m=0‎ ‎(2) ∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],‎ ‎2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,‎ ‎∵a,b,c成等比数列,‎ ‎∴‎ ‎∵(a+m)(c+m)-(b+m)2‎ ‎=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2‎ ‎=ac+m(a+c)-b2-2bm ‎=m(a+c)-2m ‎∵a>0,c>0.‎ ‎∴a+c≥2‎ ‎①m>0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ‎ ‎∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2‎ ‎∴f(a)+f(c)>2f(b);‎ ‎②m<0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,‎ ‎∴log2[(a+m)(c+m)]