【数学】2019届一轮复习北师大版函数与方程学案 11页

第11讲　函数与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，12‎ ‎2017·江苏卷，14‎ ‎2016·山东卷，15‎ ‎2016·浙江卷，2‎ 函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大．‎ 分值：5～8分 ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎__两个__‎ ‎__一个__‎ 零个 ‎3．二分法 ‎(1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)‎ 的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ ‎(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε.‎ 第二步，求区间(a，b)的中点x1.‎ 第三步，计算f(x1)：‎ ‎①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；‎ ‎②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；‎ ‎③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．‎ 第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．‎ ‎4．有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　 ×　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－‎4ac<0时没有零点．　(　√　)‎ ‎(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　√　)‎ 解析　(1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)与(1,0)．‎ ‎(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0.‎ ‎(3)正确．当b2－‎4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．‎ ‎(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．‎ ‎2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　C　)‎ A．0,2　　　 B．0，　　　‎ C．0，－　　　 D．2，－ 解析　∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．‎ ‎∴零点为0和－.‎ ‎3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　B　)‎ A．0　　　 B．‎1　‎　　‎ C．2　　　 D．3‎ 解析　函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点．故选B．‎ ‎4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　C　)‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ x＋2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A．(－1,0)　　　 B．(0,1)　　　‎ C．(1,2)　　　 D．(2,3)‎ 解析　设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．‎ ‎5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2,3)__(填区间)．‎ 解析　由f(2)·f(3)<0，可知x0∈(2,3)．‎ 一　函数零点所在区间的判断 判断函数零点所在区间的方法 ‎(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．‎ ‎(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．‎ ‎(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　C　)‎ A．　　　 B． C．(1,2)　　　 D．(2,3)‎ ‎(2)若a0，f＝1－log2＝1＋＝>0，f(1)＝1－0>0，f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)·f(2)<0知C项正确．‎ ‎(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．‎ 二　函数零点个数的判断 函数零点个数的判断方法 ‎(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是(　C　)‎ A．2　　　 B．3　　　　‎ C．4　　　 D．多于4‎ ‎(2)(2018·江苏镇江月考)方程ex·ln x＝1(其中e为自然对数的底数)解的个数为__1__.‎ 解析　(1)由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.‎ ‎(2)把方程化为ln x＝x，分别画出函数y＝ln x和y＝x的图象(图略)，两个函数图象只有一个交点，所以方程只有一解．‎ 三　函数零点的应用 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．‎ ‎(2)已知函数零点个数求参数．解答此类问题常利用数形结合法．‎ ‎(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．‎ ‎【例3】 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．　　　 B．(－∞，－1)∪ C．　　　 D．(－∞，－1)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是(　A　)‎ A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　　 B．[－1,2)‎ C．[－1,0]∪(1,2]　　　 D．[0,1]‎ 解析　(1)要使函数在(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，所以(5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1.故选B．‎ ‎(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A．‎ ‎1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　B　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,2)　　　‎ C．(2,3)　　　 D．(3,4)‎ 解析　因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零点．故选B．‎ ‎2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　B　)‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　‎ C．3　　　 D．4‎ 解析　在同一坐标系中作出y＝x与y＝|log0.5x|的图象(图略)，由图可得零点的个数为2.‎ ‎3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　A　)‎ A．a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是____.‎ 解析　当a>1时，作出函数y＝|ax－1|的图象如图(1)，此时y＝2a>2，只有一个交点，不成立．当00　　　 B．b>－2，且c<0‎ C．b<－2，且c＝0　　　 D．b≥－2，且c＝0‎ 解析　令f(x)＝t，则方程为t2＋bt＋c＝0.‎ 设t1，t2为它的两个根，则f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5个不同实根，y＝f(x)的图象如图所示，则t1>2，t2＝0，∴c＝0.‎ 由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2.故选C．‎ 答案　C ‎【跟踪训练1】 (2016·山东卷)已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__(3，＋∞)__.‎ 解析　f(x)的图象如图所示．‎ 若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m23或m<0，又m>0，所以m>3.‎ 课时达标　第11讲 ‎[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　A　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1,2)　　　‎ C．(2,3)　　　 D．(3,4)‎ 解析　f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．‎ ‎2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　B　)‎ A．(0,1)　　　 B．(0,2)　　　‎ C．(2,3)　　　 D．(2,4)‎ 解析　因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，又已知f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．故选B．‎ ‎3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　B　)‎ A．4　　　 B．‎5　‎　　‎ C．6　　　 D．7‎ 解析　令f(x)＝2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.‎ ‎4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为(　B　)‎ A．(0,4)　　　 B．(4，＋∞)　　　‎ C．(0,2)　　　 D．(2，＋∞)‎ 解析　依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4.故选B．‎ ‎5．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　B　)‎ A．(0,1)　　　 B．(1，＋∞)‎ C．(－1,0)　　　 D．(－∞，－1)‎ 解析　因为f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)的值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B．‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　C　)‎ A．－　　　 B．　　　‎ C．　　　 D．1‎ 解析　由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．‎ 由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C．‎ 二、填空题 ‎7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为____.‎ 解析　依据二次函数的图象有即 解得20时，f(x)＝2 019x＋log2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为__3__.‎ 解析　函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.‎ ‎9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____.‎ 解析　依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，‎ 于是有解得a>，‎ 因此，满足题意的实数a需满足即0，∴f(2)<0.‎ 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.‎ ‎②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，‎ 则∴ ‎∴∴－≤m≤－1.‎ 由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．‎ 方法二　由x2＋(m－1)x＋1＝0得x＝0不是方程的根，‎ ‎∴x≠0.当x∈(0,2]时，－(m－1)x＝x2＋1,1－m＝x＋.‎ ‎∵x∈(0,2]时，x＋≥2，∴1－m≥2，即m≤－1，‎ 故实数m的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．‎ ‎(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；‎ ‎(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.‎ ‎(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，‎ 所以b2－‎4a(b－1)>0恒成立，‎ 即对于任意b∈R，b2－4ab＋‎4a>0恒成立，‎ 所以有(－‎4a)2－4×(‎4a)<0⇒a2－a<0，解得0