【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第8讲与三角函数有关的应用题学案 21页

第8讲　与三角函数有关的应用题 考试要求　1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用，会运用三角函数知识解决实际中的优化问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：‎ ‎(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.‎ ‎(2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型.‎ ‎(3)求解：利用三角形，求得数学模型的解.‎ ‎(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.‎ ‎2.在建立三角函数模型求解与实际生活有关的优化问题时，常以三角函数的定义、图象与性质、三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载体，以不等式、导数为工具进行求解，但结果要符合实际意义.‎ 诊 断 自 测 ‎1.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是________.‎ 解析　∵T＝＝，∴f＝＝80.‎ 答案　80‎ ‎2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝时，电流I＝________.‎ 解析　直接将t＝代入计算即可.‎ 当t＝时，I＝5sin＝5sin ＝.‎ 答案　 A ‎3.(2019·苏、锡、常、镇四市调研)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.‎ ‎(1)当θ＝时，求∠OPQ的大小；‎ ‎(2)当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.‎ 解　(1)设∠OPQ＝α，在Rt△OAQ中，OA＝3，‎ ‎∠AQO＝π－∠AQC＝π－＝，所以OQ＝，‎ 在△OPQ中，OP＝3，∠POQ＝－θ＝－＝，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 所以sin α＝sin＝sin，‎ 则sin α＝sin cos α－cos sin α＝cos α＋sin α，‎ 所以sin α＝cos α，‎ 因为α为锐角，所以cos α≠0，‎ 所以tan α＝，得α＝.‎ ‎(2)设∠OPQ＝α，在△OPQ中，OP＝3，∠POQ＝－θ，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 所以sin α＝sin ‎＝sin＝cos(α－θ)‎ ‎＝cos αcos θ＋sin αsin θ，‎ 从而(－sin θ)sin α＝cos αcos θ，其中－sin θ≠0，cos α≠0，‎ 所以tan α＝，‎ 记f(θ)＝，则f′(θ)＝，θ∈，‎ 令f′(θ)＝0，得sin θ＝，存在唯一θ0∈使得sin θ0＝，‎ 当θ∈(0，θ0)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；‎ 当θ∈时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减，‎ 所以当θ＝θ0时，f(θ)最大，即tan ∠OPQ最大，‎ 又∠OPQ为锐角，从而∠OPQ最大，此时sin θ＝.‎ 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为.‎ 考点一　三角函数在物理中的应用 ‎【例1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s＝6sin.‎ ‎(1)作出函数的图象；‎ ‎(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？‎ ‎(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？‎ ‎(4)单摆来回摆动一次需多长时间？‎ 解　(1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).‎ ‎(2)因为当t＝0时，s＝6sin ＝3，‎ 所以此时离开平衡位置3 cm.‎ ‎(3)离开平衡位置6 cm.‎ ‎(4)因为T＝＝1，‎ 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.‎ 规律方法　三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.‎ ‎【训练1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：‎ ‎(1)开始时电压；‎ ‎(2)电压值重复出现一次的时间间隔；‎ ‎(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.‎ 解　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.‎ ‎(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.‎ ‎(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值.‎ 考点二　三角函数在实际生活中的应用 角度1　以三角函数定义为载体的三角问题 ‎【例2－1】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.‎ ‎(1)求h与θ间关系的函数解析式；‎ ‎(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？‎ 解　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 则以Ox为始边，OB为终边的角θ－，‎ 故点B的坐标为，‎ ‎∴h＝5.6＋4.8sin(θ∈[0，＋∞)).‎ ‎(2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s，‎ 故t s转过的弧度数为t，‎ ‎∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞).‎ 到达最高点时，h＝10.4 m.‎ 由sin＝1，得t－＝，∴t＝30 s，‎ 答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.‎ 角度2　以三角函数图象与性质为载体的三角问题 ‎【例2－2】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：‎ 时刻 水深(米)‎ 时刻 水深(米)‎ 时刻 水深(米)‎ ‎0：00‎ ‎5.0‎ ‎9：00‎ ‎2.5‎ ‎18：00‎ ‎5.0‎ ‎3：00‎ ‎7.5‎ ‎12：00‎ ‎5.0‎ ‎21：00‎ ‎2.5‎ ‎6：00‎ ‎5.0‎ ‎15：00‎ ‎7.5‎ ‎24：00‎ ‎5.0‎ ‎(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).‎ ‎(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？‎ ‎(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？‎ 解　(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：‎ A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；‎ 由T＝＝12，得ω＝.‎ 所以这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：‎ y＝2.5sin x＋5，‎ 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：‎ 时刻 ‎0：00‎ ‎1：00‎ ‎2：00‎ ‎3：00‎ ‎4：00‎ ‎5：00‎ ‎6：00‎ ‎7：00‎ ‎8：00‎ ‎9：00‎ ‎10：00‎ ‎11：00‎ 水深 ‎5.000‎ ‎6.250‎ ‎7.165‎ ‎7.5‎ ‎7.165‎ ‎6.250‎ ‎5.000‎ ‎3.754‎ ‎2.835‎ ‎2.500‎ ‎2.835‎ ‎3.754‎ 时刻 ‎12：00‎ ‎13：00‎ ‎14：00‎ ‎15：00‎ ‎16：00‎ ‎17：00‎ ‎18：00‎ ‎19：00‎ ‎20：00‎ ‎21：00‎ ‎22：00‎ ‎23：00‎ 水深 ‎5.000‎ ‎6.250‎ ‎7.165‎ ‎7.5‎ ‎7.165‎ ‎6.250‎ ‎5.000‎ ‎3.754‎ ‎2.835‎ ‎2.500‎ ‎2.835‎ ‎3.754‎ ‎(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5时就可以进港.‎ 令2.5sin x＋5＝5.5，化简得sin x＝0.2，‎ 由计算器计算可得x≈0.201 4，或π－x≈0.201 4.‎ 解得xA≈0.384 8，xB≈5.615 2.‎ 因为x∈[0，24]，所以有函数周期性易得 xC≈12＋0.384 8＝12.384 8‎ xD≈12＋5.615 2＝17.615 2.‎ 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右.‎ ‎(3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.‎ 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.‎ 角度3　以三角恒等变换为载体的三角问题 ‎【例2－3】 (2018·南京三模)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，A＝.若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE ‎∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ.‎ ‎(1)试用θ表示BD的长；‎ ‎(2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.‎ 解　(1)连接DC.‎ 在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，A＝，‎ 所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2.‎ 因为BC为直径，所以∠BDC＝，‎ 所以BD＝BCcos θ＝2cos θ(百米).‎ ‎(2)在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cos θ.‎ 所以＝＝，‎ 所以DF＝4cos θsin，‎ 且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF＝4－4cos2θ，‎ 所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4cos θsin ‎＝sin 2θ－cos 2θ＋3‎ ‎＝2sin＋3.‎ 因为≤θ<，所以≤2θ－<，‎ 所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合.‎ 所以当E与C重合时，两条栈道长度之和最大.‎ 角度4　以解三角形为载体的三角问题 ‎【例2－4】 (2018·盐城三模)如图是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，∠AOB＝，且半径OC平分∠AOB.现拟在OC上选取一点P，修建三条路PO，PA，PB供游人行走观赏，设∠PAO＝α.‎ ‎(1)将三条船PO，PA，PB的长度之和表示为α的函数f(α)，并写出此函数的定义域；‎ ‎(2)试确定α的值，使得f(α)最小.‎ 解　(1)在△APO中，由正弦定理 得＝＝，‎ 即＝＝，‎ 从而AP＝，OP＝，‎ 所以f(α)＝OP＋PA＋PB＝OP＋2PA ‎＝＋2×，‎ 故所求函数为f(α)＝，α∈.‎ ‎(2)记h(α)＝＝，α∈，‎ 因为h′(α)＝‎ ‎＝，‎ 由h′(α)＝0，得sin＝－，‎ 又α∈，所以α＝.‎ 列表如下：‎ α h′(α)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(α)‎  极小值  所以当α＝时，f(α)取得最小值.‎ 答：当α＝时，f(α)最小.‎ 规律方法　解三角函数应用问题的基本步骤 ‎【训练2】 (2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.‎ ‎(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围；‎ ‎(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.‎ 解　(1)设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝10.‎ 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，‎ 故OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，‎ 则矩形ABCD的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)‎ ‎＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，‎ ‎△CDP的面积为×2×40cos θ(40－40sin θ)‎ ‎＝1 600(cos θ－sin θcos θ).‎ 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝10.‎ 连接OG，令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝，θ0∈.‎ 当θ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD，‎ 所以sin θ的取值范围是.‎ 答：矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是.‎ ‎(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，‎ 故设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，‎ 则年总产值为4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝‎ ‎8 000k(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈.‎ 设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈，则 f′(θ)＝cos2θ－sin2 θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1)‎ ‎＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1).‎ 令f′(θ)＝0，得θ＝，‎ 当θ∈时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；‎ 当θ∈时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，‎ 因此，当θ＝时，f(θ)取到最大值.‎ 答：当θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.‎ ‎ ‎ 一、必做题 ‎1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至________.‎ 解析　相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点.‎ 答案　最高点 ‎2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.‎ 解析　依题意是求函数s＝6sin的周期T＝＝1 s.‎ 答案　1‎ ‎3.如图，表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为________.‎ 解析　分析图象可知A＝300，T＝2×＝，‎ ‎∴ω＝＝100π.又当t＝时，I＝0，∴φ＝.‎ 答案　I＝300sin ‎4.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则 ‎①这段曲线的一个函数解析式为y＝10sin＋20(6≤x≤14)；‎ ‎②该地温度变化的频率为；‎ ‎③该地温度变化的周期为16π；‎ ‎④该地温度变化的振幅为30.‎ 上述说法正确的有________(填序号).‎ 解析　从题图可以看出：从6～14是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，‎ ‎∴＝14－6＝8，∴T＝16，②对，③错；‎ ‎∵T＝，∴ω＝，‎ 又∵∴ ‎∴y＝10sin＋20，故振幅A＝10，④错；‎ 将点(6，10)代入得sin＝－1，故φ＝π正确，即①对.‎ 答案　①②‎ ‎5.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.‎ 解析　依题意知，a＝＝23，A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos，‎ 当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5(℃).‎ 答案　20.5‎ ‎6.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k ‎，据此函数可知这段时间水深(单位：m)的最大值为________.‎ 解析　由图象知：ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，‎ 所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8(m).‎ 答案　8‎ ‎7.如图为一半径为3 cm的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则A与ω的值分别为________.‎ 解析　∵T＝15，故ω＝＝，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝＝＝3.‎ 答案　3， ‎8.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________.‎ 解析　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，‎ 所以ω＝，所以y＝sin＋6.‎ 因为当x＝1时，y＝6，‎ 所以6＝sin＋6，‎ 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，‎ 可取φ＝－，‎ 所以y＝sin＋6＝6－cos x.‎ 答案　y＝6－cos x ‎9.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，则估计________月份盈利最大.‎ 解析　由条件可得出厂价格函数为 y1＝2sin＋6，‎ 销售价格函数为y2＝2sin＋8，‎ 则利润函数为y＝m(y2－y1)‎ ‎＝m ‎＝m，‎ 所以当x＝6时，y＝(2＋2) m，即6月份盈利最大.‎ 答案　6‎ ‎10.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：‎ t(时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎1.5‎ ‎2.4‎ ‎1.5‎ ‎0.6‎ ‎1.4‎ ‎2.4‎ ‎1.6‎ ‎0.6‎ ‎1.5‎ ‎(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωx＋φ)，②y＝Acos(ωx＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；‎ ‎(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.‎ 解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：‎ 依题意选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，‎ ‎∴A＝＝0.9，b＝＝1.5，‎ ‎∵T＝＝12，∴ω＝，∴y＝0.9cos＋1.5.‎ 又∵函数y＝0.9cos＋1.5的图象过点(3，2.4)，‎ ‎∴2.4＝0.9×cos＋1.5‎ ‎∴cos＝1，∴sin φ＝－1，‎ 又∵－π<φ<0，∴φ＝－，‎ ‎∴y＝0.9cos＋1.5＝0.9sin＋1.5.‎ ‎(2)由(1)知：y＝0.9sin＋1.5，‎ 令y≥1.05，即0.9sin＋1.5≥1.05，‎ ‎∴sin≥－，‎ ‎∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，‎ 又∵5≤t≤18，‎ ‎∴5≤t≤7或11≤t≤18，‎ ‎∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.‎ ‎11.(2019·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ角.‎ 解　(1)分别过P，Q 作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.‎ 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，‎ OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，S＝MN·PD＝ ‎·sin θ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.‎ ‎(2)由(1)得S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)‎ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，‎ 因为θ∈，所以2θ＋∈，‎ sin∈.‎ 当θ＝时，Smax＝(m2).‎ 二、选做题 ‎12.(2018·南京师大附中模拟)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向6千米处.‎ ‎(1)警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；‎ ‎(2)警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？‎ 解　(1)在△ABP中，AB＝6，A＝60°，∠APB＝75°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 即BP＝＝＝ ‎＝3(－)＝9－3(千米).‎ 答：PB的距离是9－3千米.‎ ‎(2)甲从C到A需要4小时，乙从A到B需要1小时.‎ 设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9.‎ 当0≤t≤1时，‎ f(t)＝ ‎＝3≤9，‎ 即7t2－16t＋7≤0，解得≤t≤，‎ 又t∈[0，1]，所以≤t≤1，此时时长为小时；‎ 当10，f(θ)是增函数，‎ 所以当θ＝θ0时，f(θ)取得最小值.‎ 答：当θ满足cos θ＝时，符合园林局要求.‎