2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（二十三）随机变量与分布列 8页

课时达标训练(二十三) 随机变量与分布列 A 组 1．(2018·南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜 色的小球各有 4 个，分别编号为 1，2，3，4.现从袋中随机取两个球． (1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数； (2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布 与数学期望． 解：(1)两个球颜色不同的情况共有 C24·42＝96(种)． (2)随机变量 X 所有可能的值为 0，1，2，3. P(X＝0)＝ 4·C 96 ＝ 1 4， P(X＝1)＝ 3·C·C 96 ＝ 3 8， P(X＝2)＝ 2·C·C 96 ＝ 1 4， P(X＝3)＝ C·C 96 ＝ 1 8. 所以随机变量 X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 3 8 1 4 1 8 所以 E(X)＝0× 1 4＋1× 3 8＋2× 1 4＋3× 1 8＝ 5 4. 2．(2019·苏锡常镇一模)从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测，若这 批产品的不合格率为 0.05，随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数． (1)问：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P(X＝2)”和“恰好有 3 件不合格的 概率 P(X＝3)”哪个大？ 请说明理由； (2)求随机变量 X 的数学期望 E(X)． 解：∵批量较大，∴可以认为随机变量 X～B(10，0.05)． (1)恰好有 2 件不合格的概率 P(X＝2)＝C 210×0.052×0.958， 恰好有 3 件不合格的概率 P(X＝3)＝C 310×0.053×0.957， ∵ P（X＝2） P（X＝3）＝ 57 8 ＞1， ∴P(X＝2)＞P(X＝3)，即恰好有 2 件不合格的概率大． (2)令 p＝0.05，P(X＝k)＝pk＝C k10pk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10. 随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 … 10 P C 010p0(1－p)10 C 110p1(1－p)9 C 210p2(1－p)8 … C1010p10(1－p)0 故 E(X)＝∑10,k＝0kpk＝10×0.05＝0.5. 3．(2019·南通、泰州等七市三模)现有一款智能学习 APP，学习内容包含文章学习和 视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该 APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积 1 分， 每日上限积 5 分；观看视频累计 3 分钟积 2 分，每日上限积 6 分．经过抽样统计发现，文章 学习积分的概率分布表如表 1 所示，视频学习积分的概率分布表如表 2 所示． 表 1 文章学习积分 1 2 3 4 5 概率 1 9 1 9 1 9 1 6 1 2 表 2 视频学习积分 2 4 6 概率 1 6 1 3 1 2 (1)现随机抽取 1 人了解学习情况，求其每日学习积分不低于 9 分的概率； (2)现随机抽取 3 人了解学习情况，设积分不低于 9 分的人数为 ξ，求 ξ 的概率分布 及数学期望． 解：(1)由题意知，获得的积分不低于 9 分的情形有： 文章学习积分 3 4 5 5 视频学习积分 6 6 4 6 因为两类学习互不影响， 所以概率 P＝ 1 9× 1 2＋ 1 6× 1 2＋ 1 2× 1 3＋ 1 2× 1 2＝ 5 9， 所以每人每日学习积分不低于 9 分的概率为 5 9. (2)随机变量 ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3. 由(1)知每人每日学习积分不低于 9 分的概率为 5 9，则 P(ξ＝0)＝(4 9 ) 3 ＝ 64 729； P(ξ＝1)＝C13× 5 9×(4 9 ) 2 ＝ 80 243； P(ξ＝2)＝C23×(5 9 ) 2 × 4 9＝ 100 243； P(ξ＝3)＝(5 9 ) 3 ＝ 125 729. 所以随机变量 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 64 729 80 243 100 243 125 729 所以 E(ξ)＝0× 64 729＋1× 80 243＋2× 100 243＋3× 125 729＝ 5 3. 所以随机变量 ξ 的数学期望为 5 3. 4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为 1 3，某实验小组对该种植物的种子进行发芽 试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独 立)，用 ξ 表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值． (1)求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望； (2)求不等式 ξx2－ξx＋1>0 的解集为 R 的概率． 解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为 0，1，2，3，4，对应的未发芽 的种子数为 4，3，2，1，0， 所以 ξ 的所有可能取值为 0，2，4， P(ξ＝0)＝C24×(1 3 ) 2 ×(2 3 ) 2 ＝ 8 27， P(ξ＝2)＝C34×(1 3 ) 3 ×(2 3 ) 1 ＋C14×(1 3 ) 1 ×(2 3 ) 3 ＝ 40 81， P(ξ＝4)＝C44×(1 3 ) 4 ×(2 3 ) 0 ＋C04×(1 3 ) 0 ×(2 3 ) 4 ＝ 17 81. 所以随机变量 ξ 的概率分布为 ξ 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 数学期望 E(ξ)＝0× 8 27＋2× 40 81＋4× 17 81＝ 148 81 . (2)由(1)知ξ的所有可能取值为 0，2，4， 当 ξ＝0 时，代入 ξx2－ξx＋1>0，得 1>0，对 x∈R 恒成立，即解集为 R； 当 ξ＝2 时，代入 ξx2－ξx＋1>0，得 2x2－2x＋1>0， 即 2(x－ 1 2 ) 2 ＋ 1 2>0，对 x∈R 恒成立，即解集为 R； 当 ξ＝4 时，代入 ξx2－ξx＋1>0，得 4x2－4x＋1>0，其解集为 x≠ 1 2，不满足题意． 所以不等式 ξx2－ξx＋1>0 的解集为 R 的概率 P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝ 64 81. B 组 1．(2018·镇江期末)某学生参加 4 门学科的学业水平测试，每门得 A 等级的概率都是 1 4，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获 A 等级加 1 分，有两门学科获 A 等级加 2 分，有三门学科获 A 等级加 3 分，四门学科获 A 等级则加 5 分．记 X1 表示该生的 加分数，X2 表示该生获 A 等级的学科门数与未获 A 等级学科门数的差的绝对值． (1)求 X1 的数学期望； (2)求 X2 的分布列． 解：(1)记该学生有 i 门学科获得 A 等级为事件 Ai，i＝0，1，2，3，4. X1 的可能取值为 0，1，2，3，5. 则 P(Ai)＝Ci4(1 4 ) i (3 4 )4－i ， 即 P(A0)＝ 81 256，P(A1)＝ 27 64，P(A2)＝ 27 128，P(A3)＝ 3 64，P(A4)＝ 1 256，则 X1 的分布列为 X1 0 1 2 3 5 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 所以 E(X1)＝0× 81 256＋1× 27 64＋2× 27 128＋3× 3 64＋5× 1 256＝ 257 256. (2)X2 的可能取值为 0，2，4，则 P(X2＝0)＝P(A2)＝ 27 128； P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝ 27 64＋ 3 64＝ 15 32； P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝ 81 256＋ 1 256＝ 41 128. 所以 X2 的分布列为 X2 0 2 4 P 27 128 15 32 41 128 2.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户 之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品 的概率都为 p(00； 当 p∈(0.1，1)时，f′(p)<0. 所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180，0.1)，X＝20×2 ＋25Y，即 X＝40＋25Y.所以 EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元．由于 EX>400， 故应该对余下的产品作检验． 3.如图，设 P1，P2，…，P6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同 点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量 S. (1)求 S＝ 3 2 的概率； (2)求 S 的分布列及数学期望 E(S)． 解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有 C 36种不同选法，其中 S＝ 3 2 的为有一个角是 30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共 6×2＝12 种， 所以 P(S＝ 3 2 )＝ 3 5. (2)S 的所有可能取值为 3 4 ， 3 2 ， 3 3 4 .S＝ 3 4 的为顶角是 120°的等腰三角形(如 △P1P2P3)，共 6 种， 所以 P(S＝ 3 4 )＝ 3 10. S＝ 3 3 4 的为等边三角形(如△P1P3P5)，共 2 种， 所以 P(S＝ 3 3 4 )＝ 2 C＝ 1 10. 又由(1)知 P(S＝ 3 2 )＝ 3 5， 故 S 的分布列为 S 3 4 3 2 3 3 4 P 3 10 3 5 1 10 所以 E(S)＝ 3 4 × 3 10＋ 3 2 × 3 5＋ 3 3 4 × 1 10＝ 9 3 20 . 4．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更 有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于 两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮 试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈 只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施 以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两 种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得 分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i ＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设 α＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； ②求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 解：(1)X 的所有可能取值为－1，0，1. P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以 X 的分布列为 X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) (2)①证明：由(1)得 a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此 pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故 0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即 pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因为 p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为 4，首项为 p1 的 等比数列． ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝ 48－1 3 p1. 由于 p8＝1，故 p1＝ 3 48－1， 所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝ 44－1 3 p1＝ 1 257. p4 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药 治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝ 1 257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理．