【数学】2018届一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形教案 12页

第 2 讲　三角恒等变换与解三角形 　　　　　　　　　　　　利用三角恒等变换化简、求值 自主练透　夯实双基 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝ tan α ± tan β 1 ∓ tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α. [题组通关] 1．(2016·高考全国卷丙)若 tan θ＝－ 1 3，则 cos 2θ＝(　　) A．－ 4 5　　　　　　　 B．－ 1 5 C. 1 5 D. 4 5 D　[解析] 法一：(通性通法)由 tan θ＝－ 1 3，得 sin θ＝－ 10 10 ，cos θ＝ 3 10 10 或 sin θ＝ 10 10 ，cos θ＝－ 3 10 10 ，所以 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ 4 5，故选 D. 法二：(光速解法)cos 2θ＝ cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ＝ 1－tan2θ 1＋tan2θ＝ 1－(－1 3 )2 1＋(－1 3 )2 ＝4 5. 2．(2016·广州市综合测试(一))已知 f(x)＝sin(x＋π 6 )，若 sin α＝ 3 5(π 2 < α < π)，则 f(α＋ π 12) ＝(　　) A．－ 7 2 10 B．－ 2 10 C. 2 10 D. 7 2 10 B　[解析] 因为 sin α＝ 3 5(π 2 < α < π)，所以 cos α＝－ 4 5，所以 f(α＋ π 12)＝sin(α＋ π 12＋π 6)＝ sin(α＋π 4 )＝ 2 2 sin α＋ 2 2 cos α＝－ 2 10. 3．(2016·河南省六市第一次联考)已知 cos (α－π 6 )＋sin α＝ 4 3 5 ，则 sin (α＋7π 6 )的值是 ________． [解析] 由 cos(α－π 6 )＋sin α＝ 4 3 5 ，可得 3 2 cos α＋ 1 2sin α＋sin α＝ 4 3 5 ，即 3 2sin α＋ 3 2 cos α＝ 4 3 5 ，所以 3sin(α＋π 6 )＝4 3 5 ，sin(α＋π 6 )＝ 4 5，所以 sin(α＋7π 6 )＝－sin(α＋π 6 )＝－ 4 5. [答案] － 4 5 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦. 　　　　　　　　　　　　　利用正、余弦定理解三角形 高频考点　多维探明 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中， a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝ 2Rsin A，sin A＝ a 2R，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ b2＋c2－a2 2bc . 3．三角形面积公式 S△ABC＝ 1 2absin C＝ 1 2bcsin A＝ 1 2acsin B. 　判断三角形的形状 (2016·贵阳市监测考试)在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c，若 sin2 B 2＝ c－a 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 【解析】　由题意，得 1－cos B 2 ＝c－a 2c ， 即 cos B＝ a c，又由余弦定理，得 a c＝ a2＋c2－b2 2ac ，整理得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角 三角形． 【答案】　直角三角形 　应用正、余弦定理进行边角计算 在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 c－b＝2bcos A. (1)若 a＝2 6，b＝3，求 c； (2)若 C＝π 2，求角 B. 【解】　(1)由 c－b＝2bcos A 及余弦定理 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ， 得 c－b＝2b· b2＋c2－a2 2bc ＝ b2＋c2－a2 c ，即 a2＝b2＋bc， 所以(2 6)2＝32＋3c，解得 c＝5. (2)因为 c－b＝2bcos A， 所以由正弦定理得 sin C－sin B＝2sin Bcos A， 又 C＝π 2，所以 1－sin B＝2sin Bcos A， 所以 1－sin B＝2sin Bcos(π 2－B )， 所以 1－sin B＝2sin2B，即(2sin B－1)(sin B＋1)＝0， 所以 sin B＝ 1 2或 sin B＝－1(舍去)， 因为 00，所以 cos B＝ 4 5. (1)由 cos B＝ 4 5，得 sin B＝ 3 5， 因为 sin A＝2 5，所以 a b＝ sin A sin B＝ 2 3，又 a＋b＝10， 解得 a＝4. (2)因为 b2＝a2＋c2－2accos B，b＝3 5，a＝5， 所以 45＝25＋c2－8c， 即 c2－8c－20＝0， 解得 c＝10 或 c＝－2(舍去)， 所以 S＝ 1 2acsin B＝15. 　　　　　　　　　　　　　　正、余弦定理的实际应用 共研典例　类题通 法 (2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测 得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏 北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m. 【解析】　由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故 ∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 600 sin 45°＝ BC sin 30°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30° ＝300 2× 3 3 ＝100 6(m)． 【答案】　100 6 应用三角知识解决实际问题的模型 [题组通关] 1．(2016·湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20°的方向上，仰角为 60°；在点 B 处测 得塔顶 C 在东偏北 40°的方向上，仰角为 30°.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD＝ ________m. [解析] 分析题意可知，设 CD＝h，则 AD＝ h 3，BD＝ 3h，在△ADB 中，∠ADB＝180°－ 20°－40°＝120°，所以由余弦定理得 AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得 130 2＝ 3h2＋ h2 3 －2· 3h· h 3·(－1 2 )， 解得 h＝10 39，故塔的高度为 10 39 m. [答案] 10 39 2．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45°与观测站 A 距离 20 2 海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 北偏东 θ(45° <θ<90°)的 C 处，且 sin θ＝ 4 5.已知 A、C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为________ 海里/小时． [解析] 因为 sin θ＝ 4 5，45°<θ<90°，所以 cos θ＝ 3 5，cos(θ－45°)＝ 2 2 × 3 5＋ 2 2 × 4 5＝ 7 2 10 ，在△ABC 中，BC2＝800＋100－2×20 2×10× 7 2 10 ＝340，所以 BC＝2 85，该货船的 船速为 4 85海里/小时． [答案] 4 85 课时作业 1．(2016·武汉市武昌区调研)已知 cos(π－α)＝ 4 5，且 α 为第三象限角，则 tan 2α 的值等 于(　　) A. 3 4　　　　　　　　　　　 B．－ 3 4 C. 24 7 D．－ 24 7 C　[解析] 因为 cos α＝－4 5，且 α 为第三象限角，所以 sin α＝－ 3 5，tan α＝ 3 4，tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝ 3 2 1－ 9 16 ＝ 24 7 ，故选 C. 2．(2016·广州市五校联考)在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为 (　　) A. 3 2 2 B. 3 3 2 C. 3 2 D．3 3 B　[解析] 由题意可得 cos A＝ AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝ 1 2，所以 sin A＝ 1－(1 2 )2 ＝ 3 2 ，所 以边 AC 上的高 h＝ABsin A＝ 3 3 2 . 3. 已知 2sin 2α＝1＋cos 2α，则 tan 2α＝(　　) A．－ 4 3 B. 4 3 C．－ 4 3或 0 D.4 3或 0 D　[解析] 由 2sin 2α＝1＋cos 2α 得 4sin αcos α＝2cos2α，所以 cos α(2sin α－cos α)＝0， 所以 cos α＝0 或 tan α＝ 1 2. 由 cos α＝0 知 α＝2kπ±π 2(k∈Z)，所以 tan 2α＝0； 由 tan α＝ 1 2知 tan 2α＝ 4 3. 4．(2016·东北四市联考(二))已知 sin(π 6－α )＝cos(π 6＋α )，则 cos 2α＝(　　) A．1 B．－1 C. 1 2 D．0 D　[解析] 因为 sin (π 6－α )＝cos(π 6＋α )，所以 1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－ 1 2sin α，即 (1 2－ 3 2 )sin α＝－ (1 2－ 3 2 )cos α，所以 tan α＝ sin α cos α＝－1，所以 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝ cos2α－sin2α sin2α＋cos2α＝ 1－tan2α tan2α＋1＝0. 5．(2016·海口调研测试)如图，在△ABC 中，C＝ π 3，BC＝4，点 D 在边 AC 上，AD＝ DB，DE⊥AB，E 为垂足．若 DE＝2 2，则 cos A 等于(　　) A.2 2 3 B. 2 4 C. 6 4 D. 6 3 C　[解析] 依题意得，BD＝AD＝ DE sin A＝ 2 2 sin A，∠BDC＝∠ABD＋A＝2A.在△BCD 中 ， BC sin ∠BDC＝ BD sin C， 4 sin 2A＝ 2 2 sin A× 2 3＝ 4 2 3sin A， 即 4 2sin Acos A＝ 4 2 3sin A，由此解得 cos A＝ 6 4 ，选 C. 6．(2016·石家庄市教学质量检测(二))设 α，β∈[0，π]，且满足 sin αcos β－cos αsin β＝ 1，则 sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　) A．[－ 2，1] B．[－1， 2 ] C．[－1，1] D．[1， 2 ] C　[解析] 因为 sin αcos β－cos αsin β＝1，即 sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，所以 α－β＝ π 2，又{0 ≤ α ≤ π 0 ≤ β＝α－π 2 ≤ π，则π 2≤α≤π，所以 sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin(2α－α＋π 2)＋sin(α－ 2α＋π)＝cos α＋sin α＝ 2sin(α＋π 4 )，因为π 2≤α≤π，所以 3π 4 ≤α＋π 4≤ 5π 4 ，所以－1≤ 2sin (α＋π 4 )≤1，即所求取值范围为[－1，1]，故选 C. 7．在△ABC 中，B＝ π 3，AB＝2，D 为 AB 中点，△BCD 的面积为 3 3 4 ，则 AC 等于 ________． [解析] 因为 S△BCD＝ 1 2BD·BCsin B＝ 1 2×1×BC·sin π 3＝ 3 3 4 ，所以 BC＝3.由余弦定理 得 AC2＝4＋9－2×2×3cosπ 3＝7，所以 AC＝ 7. [答案] 7 8．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为 10 3，且 AB＝5，AC＝8，则 BC 等于 ________． [解析] 由面积公式，得 S＝ 1 2×AB×AC×sin A＝10 3， 所以 sin A＝ 20 3 5 × 8＝ 3 2 .因为 A∈(0，π 2)，所以 A＝π 3. 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A ＝25＋64－2×5×8×cosπ 3＝49，所以 BC＝7. [答案] 7 9．某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75° 方向上，则点 B 与电视塔的距离是________． [解析] 如图，由题意知 AB＝24× 15 60＝6，在△ABS 中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝ 180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知 BS sin 30°＝ AB sin 45°，所以 BS＝ AB·sin 30° sin 45° ＝3 2. [答案] 3 2 km 10．(2016·山西省第二次四校联考)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 且 acos B－bcos A＝ 1 2c，当 tan(A－B)取最大值时，角 B 的值为________． [解析] 由 acos B－bcos A＝ 1 2c 及正弦定理，得 sin Acos B－sin Bcos A＝ 1 2sin C＝ 1 2sin(A＋ B)＝1 2(sin Acos B＋cos Asin B)，整理得 sin Acos B＝3cos Asin B，即 tan A＝3tan B，易得 tan A>0，tan B>0，所以 tan(A－B)＝ tan A－tan B 1＋tan Atan B＝ 2tan B 1＋3tan2B＝ 2 1 tan B＋3tan B ≤ 2 2 3＝ 3 3 ， 当且仅当 1 tan B＝3tan B，即 tan B＝ 3 3 时，tan(A－B)取得最大值，所以 B＝π 6. [答案] π 6 11．已知 α，β∈(0，π)，且 tan α＝2，cos β＝－ 7 2 10 . (1)求 cos 2α 的值； (2)求 2α－β 的值． [解] (1)因为 tan α＝2，所以 sin α cos α＝2，即 sin α＝2cos α. 又 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin2α＝ 4 5，cos2α＝ 1 5. 所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝－ 3 5. (2)因为 α∈(0，π)，且 tan α＝2，所以 α∈(0，π 2 ). 又 cos 2α＝－ 3 5<0，故 2α∈(π 2，π )，sin 2α＝ 4 5. 由 cos β＝－ 7 2 10 ，β∈(0，π)，得 sin β＝ 2 10，β∈(π 2，π ). 所以 sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝ 4 5×(－7 2 10 )－(－3 5 )× 2 10＝－ 2 2 . 又 2α－β∈(－π 2，π 2)，所以 2α－β＝－π 4. 12．(2016·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知函数 f(x)＝sin(2x＋B)＋ 3cos(2x＋B)为偶函数，b＝f( π 12 ). (1)求 b； (2)若 a＝3，求△ABC 的面积 S. [解] (1)f(x)＝sin(2x＋B)＋ 3cos(2x＋B)＝2sin(2x＋B＋π 3)， 由 f(x)为偶函数可知 B＋π 3＝π 2＋kπ，k∈Z， 所以 B＝π 6＋kπ，k∈Z.又 0