【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系学案 14页

‎ 14.1　坐标系与参数方程 第1课时　坐标系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ 会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.‎ ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎ (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　×　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　√　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　√　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 答案　A 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.‎ ‎3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A. B. C．(1,0) D．(1，π)‎ 答案　B 解析　方法一　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ 方法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)‎ A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ 答案　A 解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为．‎ 答案　x2＋y2－2y＝0‎ 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎6．在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标．‎ 解　∵为点P(ρ，θ)的一个极坐标．‎ ‎∴ρ＝4或ρ＝－4.‎ 当ρ＝4时，θ＝2 π＋( ∈ )，‎ ‎∴＝2，＝ π＋( ∈ )．‎ 当ρ＝－4时，θ＝2 π＋( ∈ )，‎ ‎∴＝－2，＝ π＋( ∈ )．‎ ‎∴有四个不同的点：‎ P1( ∈ )，P2( ∈ )，‎ P3( ∈ )，P4( ∈ ).‎ 题型一　极坐标与直角坐标的互化 ‎1．(2016·北京改编)在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ 解　(1)∵C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．‎ ‎(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ ‎∴直线C1过圆C2的圆心．‎ 因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．‎ ‎∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ 解　(1)∵∴＋y2＝1，由 得曲线C1的极坐标方程为ρ＝；‎ ‎∵x2＋y2－2y＝0，‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝2sin θ.‎ ‎(2)由(1)得|OA|2＝ρ＝，‎ ‎|OB|2＝ρ＝4sin2α，‎ ‎∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α ‎＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ ‎∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，‎ ‎∴6<＋4(1＋sin2α)<9，‎ ‎∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2,5)．‎ 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ 题型二　求曲线的极坐标方程 典例将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，由题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1，‎ 即曲线C的标准方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为 ＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ 思维升华求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ 跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解　(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，‎ ‎∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.‎ 又直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t后得y＝x＋1，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.‎ ‎(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，‎ ‎∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，‎ ‎∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.‎ 题型三　极坐标方程的应用 典例 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，‎ 于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 思维升华极坐标应用中的注意事项 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．‎ ‎(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．‎ 跟踪训练(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．‎ 解　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，‎ 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，‎ 由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2＝2＝4.‎ 故所求弦长为4.‎ ‎1．(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ<2π)．‎ 解　(1)将消去参数t，‎ 化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，‎ 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，‎ 变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2y，‎ 即x2＋y2－2y＝0.‎ ‎(2)因为C1的普通方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0，‎ C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎3．(2017·贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．‎ 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，‎ ‎∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意＝3·，‎ 解得θ0＝或θ0＝，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．‎ ‎4．(2017·东北三校二模)已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．‎ ‎(1)用x，y，θ0表示m，n；‎ ‎(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．‎ 解　(1)由题意知且 所以 即 ‎(2)由(1)可知又mn＝1，‎ 所以＝1.‎ 整理得－＝1.‎ 所以－＝1即为所求方程．‎ ‎5．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρsin＝－，⊙C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.‎ ‎(1)求直线l和⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．‎ 解　(1)直线l：ρsin＝－，‎ ‎∴ρ＝－，‎ ‎∴y·－x·＝－，即y＝－x＋2.‎ ‎⊙C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝4x＋2y，即x2＋y2－4x－2y＝0.‎ ‎(2)⊙C：x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎∴圆心C(2,1)，半径R＝，‎ ‎∴⊙C的圆心C到直线l的距离 d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝2 ＝.‎ ‎∴弦AB的长为.‎ ‎6．(2017·贵阳质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ 解　(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，‎ 当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0,2π]．‎ ‎(1)求曲线C1的一个参数方程；‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解　(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，‎ 可得x2＋y2－4x＋3＝0.‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝1.‎ 令x－2＝cos α，y＝sin α，‎ ‎∴C1的一个参数方程为(α为参数，α∈R)．‎ ‎(2)C2：4ρ＝3，‎ ‎∴4＝3，即2x－2y－3＝0.‎ ‎∵直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，且圆心到直线的距离d＝，‎ ‎∴|AB|＝2×＝2×＝.‎ ‎8．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ 解　(1)曲线C的参数方程为 (α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)∵l的直角坐标方程为x＋y－1＝0，‎ ‎∴圆心C(2,1)到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴弦长为2＝2.‎ ‎9．(2017·哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解　(1)∵C1的参数方程为 ‎∴C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)，‎ 将D代入，得2＝2a×，∴a＝2，‎ ‎∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ ‎∴ρ＝，‎ ρ＝＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解　(1)由ρcos＝1，‎ 得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)，‎ N点的直角坐标为，‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎