2020年浙江省湖州中学高考数学模拟试卷(3月份) (含答案解析) 15页

2020 年浙江省湖州中学高考数学模拟试卷(3 月份) 一、单项选择题（本大题共 10小题，共 40.0分） 1. 已知全集 知 全集 ሺ集 ݔ െሺ集 1െ ，集合 知 全12，，则 知 ሺെ A. 全͵ǡ B. 全͵5， C. 全3，ǡ D. 全3，5， 2. 已知双曲线的离心率为 2，焦点坐标是ሺ ݔ െሺെ，则双曲线的方程为ሺ െ A. 集2 1 ݔ 2 知 1 B. 集2 12 ݔ 2 知 1 C. 集2 ݔ 2 12 知 1 D. 集2 ݔ 2 1 知 1 ͵. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为ሺെ A. 1 ͵ B. 1 2 C. 1 D. ͵ 2 . 对于函数 知 䁪ሺ集െ，集 ，“ 知 䁪ሺ集െ的图象关于 y轴对称”是“ 知 䁪ሺ集െ是奇函数”的ሺെ A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ǡ. 已知 cosሺ2ݔെ͵cosሺݔെ sinݔcosሺെ 知 2，则 ᦙ䁪 知 ሺെ A. 5 B. 2 2 C. ݔ ǡ D. 2 . 已知变量 x，y满足约束条件 2 集 集 ݔ ，则 知 2集 的最小值为 ሺ െ A. 14 B. 8 C. 6 D. 4 7. 若关于 x的不等式ሺᦙ ݔ 2െ集2 2ሺᦙ ݔ 2െ集 ݔ 的解集为 R，则 a的取值范围是ሺെ A. ݔ ݔ22 B. ሺ ݔ 22െ C. ሺ ݔ ݔ22 D. ݔ 22െ 8. 随机变量的分布列如下图，若 ሺെ 知 ，则 ሺെ 知 ሺ െ ݔ ͵ 0 3 P 1 ͵ a b A. 6 B. 2 C. 0 D. 9. 在数列全ᦙ䁪中，ᦙ1 知 1 ͵ ᦙ䁪 知 ሺ ݔ 1െ䁪2ᦙ䁪1ݔሺ䁪 2െ，则ᦙǡ 知 ሺെ A. 1 ͵ B. ݔ 1 ͵ C. 8 ͵ D. ݔ 8 ͵ 1. 在四面体 ABCD中，二面角 ݔ ݔ 的大小为，点 P为直线 BC上一动点，记直线 PA 与平面 BCD所成的角为，则ሺെ A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为͵ D. 的最小值为͵ 二、填空题（本大题共 7小题，共 42.0分） 11. 已知 ሺ1 െ2 知 2，则 知 ______ ． 12. 已知ᦙ 知 ሺ͵ ͵െ， 知 ሺ1െ，则ᦙ 知 ______ ． 1͵. 全ᦙ䁪为等差数列，前 n项和䁪，若ᦙ2，ᦙ1是方程集2 ݔ ͵集ݔ ǡ 知 的两根，则ᦙ 知 ______ ；11 知 ______ ． 1. 在 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 䁪ݏ 知 2ᦙൌݏ，则 cosB的值为_________． 1ǡ. 将编号为 1，2，3，4，5的 5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有 2个球，另一 个盒子有 1个球，则不同的放球方案有____种ሺ用数字作答െ。 1. 已知 䁪 集 知 集 1 集 ݔ ᦙ ᦙ ，若存在集1，集2，集͵，，集䁪 1 2 2 ，使得 䁪 集1 䁪 集2 䁪 集䁪1ݔ 知 䁪 集䁪 成立的最大正整数 n为 6，则 a的取值范围为________． 17. 已知ᦙ均为单位向量，若ᦙ 知 ，则͵ᦙ 2 ݔ 的最大值为________． 三、解答题（本大题共 5小题，共 60.0分） 18. 已知函数 䁪ሺ集െ 知 ͵ൌݏ集ൌݏሺ集 ݔ 2 െ sin2集 ݔ 1 2 ． ሺⅠെ求 䁪ሺ集െ的单调递增区间； ሺⅡെ若 集 䁪ሺ集െ，ݔ 知 ͵ ͵ ，求 cos2x的值． 19. 如图所示，在长方体 1111中， 知 知 ，1 知 ǡ， M是11的中点． ሺ1െ求证：证：：平面1； ሺ2െ求直线 1与平面1所成角的正弦值． 20. 已知全ᦙ䁪是等差数列，其前 n项和为䁪，全䁪是等比数列，且ᦙ1 知 1 知 2，ᦙ͵ 知 2，ǡ ݔ 知 2． ሺ1െ求数列全ᦙ䁪与全䁪的通项公式； ሺ2െ对任意 䁪 ，是否存在正实数，使不等式ᦙ䁪 ݔ 9 䁪恒成立，若存在，求出的最小值， 若不存在，说明理由． 21. 已知抛物线 C：2 知 2集ሺ െ的焦点 F到 y轴的距离为 1． ሺⅠെ求抛物线 C的方程； ሺⅡെ点 M在抛物线 C上ሺ如图െ，若直线 MF的倾斜角为 ，求 证䁨的面积． 22. 已知 䁪ሺ集െ 知 集 ݔ 1 2 ሺ㘱䁪集െ2 ݔ ݇㘱䁪集ݔ 1ሺ݇ െ． ሺ1െ若 䁪ሺ集െ是ሺ െ上的增函数，求 k的取值范围； ሺ2െ若函数 䁪ሺ集െ有两个极值点，判断函数 䁪ሺ集െ零点的个数． 【答案与解析】 1.答案：B 解析：解： 知 全12，3，4，5，， 知 全12，； 知 全͵5，． 故选：B． 可求出集合 U，然后进行补集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算，属于基础题． 2.答案：C 解析： 本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题． 根据焦点坐标求得 c，再根据离心率求得 a，最后根据 知 2 ݔ ᦙ2求得 b，双曲线方程可得． 解：已知双曲线的离心率为 2，焦点是ሺ ݔ െ，ሺെ， 则 知 ，ᦙ 知 2，2 知 12， 双曲线方程为 集2 ݔ 2 12 知 1， 故选 C． 3.答案：A 解析：解：根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示； 由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形， 两条直角边分别是 2、1， 由侧视图知，三棱锥的高是 1， 该几何体的体积为 知 1 ͵ 1 2 2 1 1 知 1 ͵ ． 故选：A． 根据三视图知该几何体是三棱锥， 由俯视图和侧视图知底面是直角三角形，由侧视图知三棱锥的高， 计算几何体的体积即可． 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，由三视图正确复原几何体是解题的关键． 4.答案：A 解析： 本题以充分与必要条件的判断为载体，主要考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题． 通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命 题；利用充要条件的定义得到结论． 解：例如 䁪ሺ集െ 知 集2 ݔ 满足䁪ሺ集െ的图象关于 y轴对称，但 䁪ሺ集െ不是奇函数， 所以，“ 知 䁪ሺ集െ的图象关于 y轴对称”推不出“ 知 䁪ሺ集െ是奇函数”， 当“ 知 䁪ሺ集െ是奇函数” 䁪ሺ ݔ 集െ 知ݔ 䁪ሺ集െ 䁪ሺ ݔ 集െ 知 䁪ሺ集െ 知 䁪ሺ集െ为偶函数，“ 知 䁪ሺ集െ的图象关于 y轴对称”， 所以，“ 知 䁪ሺ集െ的图象关于 y轴对称”是“ 知 䁪ሺ集െ是奇函数”的必要而不充分条件， 故选 A． 5.答案：C 解析： 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式化简求解 ᦙ䁪的值． 解：由 cosሺ2ݔെ͵cosሺݔെ sinݔcosሺെ 知 2， 得 ݏൌ͵ݔ䁪ݏ ݏ䁪ൌݏ 知 2，即 ᦙ䁪ݔ͵ ᦙ䁪1 知 2， 解得：ᦙ䁪 知ݔ ǡ． 故选 C． 6.答案：C 解析：解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 知 2集 为 知ݔ 2集 ， 知 2 集 知 集 知 2 知 2； 由图可知，当直线 知ݔ 2集 过 ሺ22െ时， 直线在 y轴上的截距最小，z最小，为 2 2 2 知 ， 故选：C． 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 7.答案：C 解析： 本题考查了不等式恒成立问题、分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题． 注意分情况讨论，分为二次项系数为 0和不为 0两种情况求解即可． 解：当 ᦙ 知 2时，不等式化为ݔ ，满足条件，因此 ᦙ 知 2符合题意； 当 ᦙ 2时，不等式ሺᦙ ݔ 2െ集2 2ሺᦙ ݔ 2െ集 ݔ 的解集为 R， ᦙ ݔ 2 知 ᦙ ݔ 2 2 1 ᦙ ݔ 2 ，解得ݔ 2 ᦙ 2； 综上可得：a的取值范围为ሺ ݔ ．ݔ22 故选 C． 8.答案：A 解析： 本题主要考查了离散型随机变量分布列与期望、方差，属于基础题． 根据 ሺെ 知 解出 b的值，由概率和为 1解出 a的值，进而可解 ሺെ． 解：ሺെ 知ݔ ͵ 1 ͵ ᦙ ͵ 知 ，解得： 知 1 ͵ ， 又 1 ͵ ᦙ 知 1，解得：ᦙ 知 1 ͵ ， 则 ሺെ 知 ݔ ͵ ݔ 2 1 ͵ ݔ 2 1 ͵ ݔ͵ 2 1 ͵ 知 ， 故选 A． 9.答案：A 解析：解：在数列全ᦙ䁪中，ᦙ1 知 1 ͵ ᦙ䁪 知 ሺ ݔ 1െ䁪2ᦙ䁪1ݔ ሺ䁪 2െ， 所以ᦙ2 知 2 ͵ ，ᦙ͵ 知ݔ ͵ ，ᦙ 知ݔ 8 ͵ ，ᦙǡ 知 1 ͵ ． 故选 A． 利用递推关系式依次直接求出数列的第五项即可． 本题是基础题，考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 10.答案：A 解析： 本题考查了空间角的定义，作出空间角表示出棱锥的高是关键，属于中档题．作出二面角和线面角， 根据利用三角函数的定义表示出 AO即可得出和 的大小关系． 解：过 A作 证 ， 平面 BCD，垂足为 O，连结 OM， 则证为二面角 ݔ ݔ 的平面角， 证 知 ， 在直线 BC上任取一点 P，连结 OP，AP， 则ᦙ为直线 AP与平面 BCD所成的角，即ᦙ 知 ， ᦙ 证，证 䁪ݏ 知 ，ᦙ 䁪ݏ 知 ， 䁪ݏ 䁪，即的最大值为ݏ ． 故选 A． 11.答案：1 解析：解： ሺ1 െ2 知 2， 2 知 2， 即 知 1， 则 知 1， 故答案为：1． 根据复数的基本运算，求出 z，然后即可得到结论． 本题主要考查复数的基本运算，利用条件求出 z是解决本题的关键，比较基础． 12.答案：3 解析：解：ᦙ 知 ሺ͵ ͵െ， 知 ሺ1െ， 则ᦙ 知 ͵ 1 ͵ 知 ͵． 故答案为：3． 由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值． 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题． 13.答案：1.ǡ；1.ǡ 解析：解： ᦙ2，ᦙ1是方程集2 ݔ ͵集ݔ ǡ 知 的两根， ᦙ2 ᦙ1 知 ͵， 全ᦙ䁪为等差数列， 2ᦙ 知 ͵， ᦙ 知 1.ǡ，11 知 11 2 ሺᦙ1 ᦙ11െ 知 11 2 ሺᦙ2 ᦙ1െ 知 1.ǡ． 故答案为：1.ǡ，1.ǡ． 利用ᦙ2，ᦙ1是方程集2 ݔ ͵集ݔ ǡ 知 的两根，可得ᦙ2 ᦙ1 知 ͵，结合全ᦙ䁪为等差数列，即可求得结论． 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 14.答案： ǡ ǡ 解析： 本题考查三角形中正弦定理的应用和同角三角函数之间的关系，属于基础题． 由正弦定理得出 䁪ݏ 知 2ൌݏൌݏ ，再利用同角三角函数的基本关系求出 cosB． 解：因为在 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，ݏ䁪 知 2ᦙൌݏ， 所以根据正弦定理得 䁪ݏ䁪ݏ 知 䁪ݏ，ݏ䁪ൌݏ2 ， 所以 䁪ݏ 知 2ൌݏൌݏ ， 因为sin2 cos2 知 1， 所以 ൌݏ 知 ǡ ǡ ． 故答案为 ǡ ǡ ． 15.答案：90 解析： 本题考查了排列组合的综合应用，属于基础题． 先把 5个不同的小球分成三份，然后把它分到三个不同的盒子中，即得答案． 解：先把 5个不同的小球分成三份， 即共有 ǡ 2͵ 2 2 2 1 1 知 1ǡ种， 然后把它分到三个不同的盒子中， 所以不同的放球方案有 1ǡ ͵ ͵ 知 9种， 故答案为 90． 16.答案： 1ǡ 8 19 1 െ ሺ 1͵ ǡ 21 8 ݔ 解析： 本题主要考查函数的最值以及分类讨论思想在函数问题中的运用，属于较难题目． 由题意，得到 max ǡ min max min. ，对 a分类讨论求得最值，解不等式组即可． 解：设 集 1 集 知 2 ǡ 2 ，则条件等价于函数 知 ݔ ᦙ ᦙ ， 若存在12͵ 䁪 2 ǡ 2 使得，ݔ 1 2 䁪1ݔ 知 䁪 成立的最大正整数 n为 6， 则 max ǡ min max min. 因为 ᦙ 2 ǡ 2 时，对所有的正整数ݔ n，都存在相应的12͵ 䁪 2 ǡ 2 ，不合题意，ݔ 所以 ᦙ 2或 ᦙ ǡ 2 ． 当 ᦙ 2时， max 知 ǡ 2 知 ǡ 2 ݔ ᦙ， min 知 2 知 2 ݔ ᦙ， ǡ 2 ݔ ᦙ ǡ 2 ݔ ᦙ ǡ 2 ݔ ᦙ 2 ݔ ᦙ 1ǡ 8 ᦙ 19 1 ； 当 ᦙ ǡ 2 时 max 知 2 知 ᦙ ݔ 2， min 知 ǡ 2 知 ᦙ ݔ ǡ 2 ， ᦙ ݔ 2 ǡ ᦙ ݔ ǡ 2 ᦙ ݔ 2 ᦙ ݔ ǡ 2 1͵ ǡ ᦙ 21 8 ． 综上所述，a的取值范围为 1ǡ 8 19 1 െ ሺ 1͵ ǡ 21 8 ．ݔ 17.答案： 1͵ 1 解析： 【试题解析】 本题考查向量的模及最值，向量的数量积，为中档题． 先求出͵ᦙ 2 ݔ 2，根据向量的数量积转化求解最大值． 解：͵ᦙ ݔ2 2 知 ݔ1 ሺᦙ െ， 而ᦙ 知 2 1͵， 设向量与 ᦙ 的夹角为， 则 ， 当 知 时，͵ᦙ ݔ2 取最大值为 1͵ 1． 故答案为 1͵ 1． 18.答案：解：ሺⅠെ函数 ， 令 2݇ ݔ 2 2集ݔ 2集 2，求得 ݇ ݔ 集 ݇ ͵，可得函数的增区间为݇ ݔ ݇ ͵ ݇，ݔ ． ሺⅡെ若 集 则，ݔ 2集ݔ ݔ ͵ 䁪ሺ集െ，ݔ 知 sinሺ2集 ݔ െ 知 ͵ ͵ ， cosሺ2集 ݔ െ 知 1 ݔ sinሺ2集 ݔ െ2 知 ͵ ， ൌ2ݏ集 知 cosሺ2集 ݔ െ ݔ 知 cosሺ2集 ݔ െcos ݔ sinሺ2集 ݔ െsin 知 ͵ ͵ 2 ݔ ͵ ͵ 1 2 知 2 2 ݔ ͵ 知 ͵ ݔ2 ͵ ． 解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦 公式，属于中档题． ሺⅠെ利用查三角恒等变换化简 䁪ሺ集െ的解析式，再利用正弦函数的单调性求得 䁪ሺ集െ的单调递增区间． ሺⅡെ由题意利用同角三角函数的基本关系，求得 cosሺ2集 ݔ െ的值，再利用两角差的余弦公式求得 ൌ2ݏ集 知 cosሺ2集 ݔ െ ．的值ݔ 19.答案：证明：ሺ1െ在长方体 ABCD 1111中 知 ，1 知 ǡ， 1 知 1 2 2ݔ 知 ͵ 以 D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴，1为 z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 ݔ 集， 设 AC的中点为 N，连结 1， 根据题意得 ሺ0，െ，ሺ4，െ，ሺ4，െ，ሺ0，െ，1ሺ4，͵െ，1ሺ0，͵െ， 11的中点为证ሺ22，͵െ，AC的中点为 ሺ22，െ． 证 知 ሺ ݔ 2 ݔ 2͵െ，1 知 ሺ ݔ 2 ݔ 2͵െ， 证 ：：1 ， 证：：1． 证 平面1，1 平面1， 证：：平面1． 解：ሺ2െ1 知 ሺ0，͵െ， 知 ሺ ݔ 4，െ，1 知 ሺ ݔ 0，͵െ， 设平面1的一个法向量为䁪 知 ሺ集y，െ， 根据已知得 䁪 知ݔ 集 知 䁪 1 知ݔ 集 ͵ 知 ， 取 集 知 1，得䁪 知 ሺ11， ͵ െ是平面1的一个法向量， cos 1 ，䁪 知 1 䁪 1 䁪 知 2 ͵ 17 ， 直线 1与平面1所成角的正弦值等于2 ͵ 17 ． 解析： ሺ1െ以 D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴，1为 z轴，建立空间直角坐标系 ݔ 集，利用向量法 能证明 证：：平面1． ሺ2െ求出平面1的一个法向量和平面1的一个法向量，利用向量法能求出直线 1与平面 1所成角的正弦值． 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 20.答案：解：ሺ1െ设数列全ᦙ䁪的公差为 d，数列全䁪的公比为 q， ᦙ1 知 1 知 2，ᦙ͵ 知 2，ǡ ݔ 知 2． 2 2 2͵ 知 2 2 ǡ ǡ ǡ1ݔ 2 ݔ 2͵ 知 2 ，解得 知 ͵ 知 2． ᦙ䁪 知 ͵䁪ݔ 1䁪 知 2䁪 ሺ2െ假设存在正实数，使不等式ᦙ䁪 ݔ 9 䁪恒成立， ͵䁪ݔ 1 ݔ 9 2䁪，即 ͵䁪1ݔ 2䁪 对任意 䁪 恒成立． 设䁪 知 ͵䁪1ݔ 2䁪 ， 则䁪1 ݔ 䁪 知 ͵ሺ䁪1െ1ݔ 2䁪1 ݔ ͵䁪1ݔ 2䁪 知 ͵ሺ䁪1െ2ݔ1ݔ ͵䁪1ݔ 2䁪1 知 䁪͵ݔ͵1 2䁪1 ， 当 䁪 ǡ时，䁪1 䁪，全䁪为单调递减数列； 当 1 䁪 ǡ时，䁪1 䁪，全䁪为单调递增数列． 又 知 1 8 ǡ 知 ǡ ͵2 ， 所以当 䁪 知 ǡ时，䁪取得最大值 ǡ ͵2 所以要使 ͵䁪1ݔ 2䁪 对任意 䁪 恒成立， 则 ǡ ͵2 ， 即䁪 知 ǡ ͵2 ． 解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式、等差数列前 n项和公式的应用，应用数列的单调 性是解题的关键． ሺ1െ利用等差数列和等比数列的通项公式及等差数列的前 n项和公式，列方程组即可得出； ሺ2െ利用ሺ1െ的结论及数列的单调性即可得出． 21.答案：解：ሺⅠെ由抛物线的定义，焦点 F到 y轴的距离为 2 知 1，得 知 2， 所以，抛物线 C的方程为2 知 集 ሺⅡെ ݇证䁨 知 ᦙ䁪 知 ͵，䁨ሺ1െ 直线 MF的方程为 知 ͵ሺ集 ݔ 1െ 由 知 ͵ሺ集 ݔ 1െ 2 知 集 得 ͵集2 ݔ 1集 ͵ 知 ，解得 集 知 1 ͵ 或 集 知 ͵， 故点 证ሺ͵2 ͵െ或 证ሺ 1 ͵ ݔ 2 ͵ ͵ െሺ不合题意െ 证䁨 知 1 2 䁨证 知 1 2 1 2 ͵ 知 ͵ 解析：ሺⅠെ根据抛物线的定义求得 知 2； ሺⅡെ写出直线 MF的方程，与抛物线联立解得 M、N两点坐标，由三角形面积公式求得面积． 本题考查了直线与抛物线的综合．属基础题． 22.答案：解：ሺ1െ由 䁪ሺ集െ 知 集 ݔ 1 2 ሺ㘱䁪集െ2 ݔ ݇㘱䁪集ݔ 1，得 䁪െሺ集െ 知 集ݔ㘱䁪集݇ݔ 集 ， 由题意知 䁪െሺ集െ 恒成立，即 集 ݔ 㘱䁪集 ݔ ݇ ， 设 䁨ሺ集െ 知 集 ݔ 㘱䁪集ݔ ݇，䁨െሺ集െ 知 1 ݔ 1 集 ， 集 ሺ1െ时 䁨െሺ集െ ，䁨ሺ集െ递减； 集 ሺ1 െ时，䁨െሺ集െ ，䁨ሺ集െ递增； 故 Fሺ集െ䁪 知 䁨ሺ1െ 知 1 ݔ ݇ ， ݇ 1，故 k的取值范围是：ሺ ݔ ；ݔ1 ሺ2െ当 ݇ 1时，䁪ሺ集െ单调，无极值；当 ݇ 1时，䁨ሺ1െ 知 1 ݔ ݇ ， 一方面，䁨ሺ݇ݔെ 知 且，݇ݔ 䁨ሺ集െ在ሺ1െ递减， 䁨ሺ集െ在区间ሺ1݇ݔെ有一个零点， 另一方面，䁨ሺ݇െ 知 ݇ ݔ 2݇， 设 ሺ݇െ 知 ݇ ݔ 2݇ሺ݇ 1െ，则 െሺ݇െ 知 ݇ ݔ 2 ， 从而 ሺ݇െ在ሺ1 െ递增，则 ሺ݇െ ሺ1െ 知 ݔ 2 ，即 䁨ሺ݇െ ，又 䁨ሺ集െ在ሺ1 െ递增， 䁨ሺ集െ在区间ሺ1݇െ有一个零点， 因此，当 ݇ 1时，䁪െሺ集െ在ሺ1݇ݔെ和ሺ1݇െ各有一个零点，将这两个零点记为集1，集2ሺ集1 1 集2െ， 当 集 ሺ集1െ时 䁨ሺ集െ ，即 䁪െሺ集െ ；当 集 ሺ集1集2െ时 䁨ሺ集െ ，即 䁪െሺ集െ ；当 集 ሺ集2 െ 时 䁨ሺ集െ ，即 䁪െሺ集െ ， 从而 䁪ሺ集െ在ሺ集1െ递增，在ሺ集1集2െ递减，在ሺ集2 െ递增； 于是集1是函数的极大值点，集2是函数的极小值点， 下面证明：䁪ሺ集1െ ，䁪ሺ集2െ ， 由䁪െሺ集1െ 知 得集1 ݔ 㘱䁪集1 ݔ ݇ 知 ，即݇ 知 集1 ݔ 㘱䁪集1，由䁪ሺ集1െ 知 集1 ݔ 1 2 ሺ㘱䁪集1െ2 ݔ ݇㘱䁪集1 ݔ 1得䁪ሺ集1െ 知 集1 ݔ 1 2 ሺ㘱䁪集1െ2 ݔ ሺ集1 ݔ 㘱䁪集1െ㘱䁪集1 ݔ 1 知 集1 1 2 ሺ㘱䁪集1െ2 ݔ 集1㘱䁪集1 ݔ 1， 令 ሺ集െ 知 集 1 2 ሺ㘱䁪集െ2 ݔ 集㘱䁪集 ݔ 1，则 െሺ集െ 知 ሺ1ݔ集െ㘱䁪集 集 ， 当 集 ሺ1െ时 െሺ集െ ，ሺ集െ递减，则 ሺ集െ ሺ1െ 知 ，而集1 1，故 䁪ሺ集1െ ； 当 集 ሺ1 െ时 െሺ集െ ，ሺ集െ递减，则 ሺ集െ ሺ1െ 知 ，而集2 1，故 䁪ሺ集2െ ； 一方面，因为 䁪ሺ2݇ݔെ 知 2݇ݔ ݔ 1 ，又 䁪ሺ集1െ ，且 䁪ሺ集െ在ሺ集1െ递增， 䁪ሺ集െ在ሺ2݇ݔ集1െ上有一个零点，即 䁪ሺ集െ在ሺ集1െ上有一个零点． 另一方面，根据集 1 集ሺ集 െ得݇ 1 ݇， 则有 䁪ሺ݇െ 知 ݇ ݔ 12݇2 ݔ 1 ሺ1 ݇െ ݔ 12݇2 ݔ 1 知 ݇ ݇ሺ݇ݔ ͵ െ2 7 ݇ ， 又 䁪ሺ集2െ ，且 䁪ሺ集െ在ሺ集2 െ递增， 故 䁪ሺ集െ在ሺ集2݇െ上有一个零点，故 䁪ሺ集െ在ሺ集2 െ上有一个零点， 又 䁪ሺ1െ 知 ，故 䁪ሺ集െ有三个零点． 解析：ሺ1െ由题意知 䁪െሺ集െ 恒成立，构造函数 䁨ሺ集െ 知 集 ݔ ln集 ݔ ݇，对函数求导，求得函数最值， 进而得到结果； ሺ2െ当 ݇ 1时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证 䁪ሺ集1െ ，䁪ሺ集2െ 本题考查函数的零点与导数的综合应用，关键是利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函 数的变化趋势，属难题．