2021版高考数学一轮复习第七章数列7-3等比数列课件新人教B版 20页

第三节　等比数列 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 等比数列定义与等比中项 (1) 定义： ① 文字语言：从 ______ 起，每一项与它的前一项的 ___ 都等于 ___ 一个常数； ② 符号语言： _________(n∈N * ， q 为非零常数 ). (2) 等比中项：如果 a ， G ， b 成等比数列，那么 __ 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即： G 是 a 与 b 的等比中项 ⇔a ， G ， b 成等比数列 ⇒G 2 =___. 第 2 项 比 同 G ab 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1) 通项公式： a n =_____. (2) 前 n 项和公式： S n = a 1 q n-1 3. 等比数列的性质 (1) 通项公式的推广： a n =a m · q n-m (m ， n∈N * ). (2) 对任意的正整数 m ， n ， p ， q ，若 m+n=p+q ，则 ______=______. 特别地，若 m+n=2p ，则 _______________. a m · a n a p · a q 【知识点辨析】 　 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 等比数列 {a n } 的公比 q>1, 则该数列单调递增 . ( 　　 ) (2) 数列 {a n },{b n } 都是等比数列 , 则数列 {a n b n }, 仍然是等比数列 . ( 　　 ) (3) 数列 {a n } 的通项 a n =a n , 则其前 n 项和为 S n = . ( 　　 ) (4) 设 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和 , 则 S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 是等比数列 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 在等比数列 {a n } 中 , 若公比 q>1, 当 a 1 >0 时 , 该数列为递增数列 ,a 1 <0 时 , 该数列为递减数列 , 所以 (1) 错误 . (2)√. 设等比数列 {a n },{b n } 的公比分别为 q 1 ,q 2 , 则 =q 1 q 2 ( 与 n 无关的常数 ), ( 与 n 无关的常数 ), 所以 (2) 正确 . (3)×. 对于数列 {a n }, 当 a=1 时 ,S n =n, 当 a≠1 时 , 则其前 n 项和为 S n = , 所以 (3) 错误 . (4)×. 在公比 q=-1,n 为偶数时 ,S n =S 2n -S n =S 3n -S 2n =0, 此时 ,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 不是等 比数列 , 所以 (4) 错误 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 运算错误 考点一、 T5 2 q=1 的特殊性是否讨论 考点一、 T2 3 不能进行正确转化 考点二、 T2 4 等比数列性质应用错误 考点三、角度 1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 5P48 练习 BT1 改编 ) 对任意等比数列 {a n }, 下列说法一定正确的是 ( 　　 ) A.a 1 ,a 3 ,a 9 成等比数列 　 B.a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列 C.a 2 ,a 4 ,a 8 成等比数列 　 D.a 3 ,a 6 ,a 9 成等比数列 【解析】 选 D. 因为数列 {a n } 为等比数列 , 设其公比为 q, 则 a 3 ·a 9 =a 1 ·q 2 ·a 1 ·q 8 = 所以 a 3 ,a 6 ,a 9 一定成等比数列 . 2.( 必修 5P51 习题 2-3AT1 改编 ) 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 +a 3 = , a 2 +a 4 = , 则公比 q= ( 　　 ) 【解析】 选 C. 由等比数列可得 , a 2 +a 4 =(a 1 +a 3 )q= q= , 解得 q=2. 3.( 必修 5P46 例 4 改编 ) 在 3 与 192 中间插入两个数 , 使它们同这两个数成等比数列 , 则这两个数为 ________.  【解析】 设该数列的公比为 q, 由题意知 ,192=3×q 3 ,q 3 =64, 所以 q=4. 所以插入的两个数分别为 3×4=12,12×4=48. 答案 : 12,48 4.( 必修 5P51 练习 BT1 改编 ) 等比数列 {a n } 的首项 a 1 =-1, 前 n 项和为 S n , 若 , 则 {a n } 的通项公式 a n =________.  【解析】 因为 , 所以 , 因为 S 5 ,S 10 -S 5 ,S 15 -S 10 成等比数列 , 且 公比为 q 5 , 所以 q 5 =- ,q=- , 则 a n = . 答案 : 【 解题新思维】 　 活用等比数列前 n 项和的性质解题   【结论】 在等比数列 {a n } 中 , 其前 n 项和为 S n , 当公比 q≠-1 时 ,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , … 成等比数列 (n∈N * ). 【典例】 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 =3, 则 =________.  【解析】 由等比数列的性质 S 3 ,S 6 -S 3 ,S 9 -S 6 仍成等比数列 , 由已知得 S 6 =3S 3 , 所以 即 S 9 -S 6 =4S 3 ,S 9 =7S 3 , 所以 . 答案 : 【一题多解】 因为 {a n } 为等比数列 , 由 =3, 设 S 6 =3a,S 3 =a(a≠0), 所以 S 3 ,S 6 - S 3 ,S 9 -S 6 为等比数列 , 即 a,2a,S 9 -S 6 成等比数列 , 所以 S 9 -S 6 =4a, 解得 S 9 =7a, 所以 答案 : 【迁移应用】 已知数列 {a n } 是等比数列 ,S n 为其前 n 项和 , 若 a 1 +a 2 +a 3 =4,a 4 +a 5 +a 6 =8, 则 S 12 =( 　　 ) A.40 B.60 C.32 D.50 【解析】 选 B. 数列 S 3 ,S 6 -S 3 ,S 9 -S 6 ,S 12 -S 9 是等比数列 , 即数列 4,8,S 9 -S 6 ,S 12 -S 9 是 首项为 4, 公比为 2 的等比数列 , 则 S 9 -S 6 =a 7 +a 8 +a 9 =16,S 12 -S 9 =a 10 +a 11 +a 12 =32, 因此 S 12 =4+8+16+32=60.