【数学】2018届一轮复习北师大版二项分布、超几何分布及正态分布学案 20页

第7讲　二项分布、超几何分布及正态分布 ‎)‎ ‎1．事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)·P(B)．‎ ‎②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎2．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．‎ ‎(3)二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ ‎3．超几何分布 ‎(1)定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎(2)均值 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．‎ ‎4．正态曲线的特点 ‎(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；‎ ‎(3)曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎(4)曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．‎ ‎(2)运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．‎ ‎2．理解事件中常见词语的含义 ‎(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；‎ ‎(2)A，B都发生的事件为AB；‎ ‎(3)A，B都不发生的事件为 ；‎ ‎(4)A，B恰有一个发生的事件为A∪B；‎ ‎(5)A，B至多一个发生的事件为A∪B∪ .‎ ‎3．正态分布的三个常用数据 ‎(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；‎ ‎(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；‎ ‎(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.‎ ‎1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B． C. D． ‎ B ‎2．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝(　　)‎ A．0.477　　 B．0.628‎ C．0.954 D．0.977‎ ‎　C　 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，‎ 所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648　　 B．0.432‎ C．0.36 D．0.312‎ ‎　A　 3次投篮投中2次的概率为P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.‎ ‎4. 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．‎ ‎ 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点 时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B，E(X)＝10×＝.‎ ‎ ‎5. 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．‎ ‎ 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P( )＝P()·P()＝＝＝，‎ 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P( )＝1－＝.‎ ‎ ‎　相互独立事件的概率 ‎　(2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎【解】　由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2×(×××＋×××)‎ ‎＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝＝.‎ P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＝＝，‎ P(X＝6)＝×××＝＝.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 ‎(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．‎ ‎(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．‎ ‎(3)代入概率的积、和公式求解．　 ‎ ‎　(2017·开封市第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 产量(吨)‎ ‎30‎ ‎50‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 市场价格(万元/吨)‎ ‎0.6‎ ‎1‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示1个生产周期此产品的利润，求X的分布列；‎ ‎(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．‎ ‎ (1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，‎ 因为利润＝产量×市场价格－成本，‎ 所以X的所有值为 ‎50×1－20＝30，50×0.6－20＝10，‎ ‎30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，‎ 则P(X＝30)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，‎ P(X＝10)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0 .5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，‎ 则X的分布列为 X ‎30‎ ‎10‎ ‎－2‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i个生产周期的利润不少于10万元”(i＝1，2，3)，则C1，C2，C3相互独立，‎ 由(1)知，P(Ci)＝P(X＝30)＋P(X＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，‎ 连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512，‎ 连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(C12C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384，‎ 所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.‎ ‎　独立重复试验与二项分布(高频考点)‎ 独立重复试验与二项分布是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度稍大，多为中高档题目．‎ 高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)已知二项分布，求二项分布列及均值；‎ ‎(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．‎ ‎　(2017·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，‎ 每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．‎ ‎(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；‎ ‎(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．‎ ‎【解】　(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．‎ 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，‎ 所以P(A)＝C＋C＝.‎ ‎(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝C＝＝；‎ P(X＝2)＝C＝＝；P(X＝3)＝＝.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望为EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎ (1)独立重复试验满足的条件 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎(2)二项分布满足的条件 ‎①每次试验中，事件发生的概率是相同的．‎ ‎②各次试验中的事件是相互独立的．‎ ‎③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．‎ ‎④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．　 ‎ ‎ 角度一　已知二项分布，求二项分布列及均值 ‎1．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．‎ ‎(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；‎ ‎(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．‎ ‎ (1)设“甲恰得1个红包”为事件A，‎ 则P(A)＝C××＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0，5，10，15，20.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝5)＝C××＝，‎ P(X＝10)＝×＋×＝，‎ P(X＝15)＝C××＝，‎ P(X＝20)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ P E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝.‎ ‎ 角度二　已知随机变量服从二项分布，求某种情况 下的概率 ‎2．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B． C. D． ‎　B　 因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.‎ ‎　超几何分布 ‎　(2017·云南省第一次统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．‎ ‎(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P(A)；‎ ‎(2)设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【解】　(1)由已知，得P(A)＝＝.‎ 所以事件A的概率为.‎ ‎(2)由题意知，X服从超几何分布，‎ 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.‎ 由已知得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ 超几何分布的特点 ‎(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．‎ ‎(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．‎ ‎　一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.‎ ‎(1)求白球的个数；‎ ‎(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎　(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，‎ 则P(A)＝1－＝，得到x＝5.‎ 故白球有5个．‎ ‎(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，‎ P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.‎ 于是可得其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎　正态分布 ‎　(1)(2017·长春质检)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　)‎ A．0.85　　　　　　　　　　 B．0.70‎ C．0.35 D．0.15‎ ‎(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)‎ ‎(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)‎ A．4.56%　　 B．13.59%‎ C．27.18% D．31.74%‎ ‎【解析】　(1)P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.‎ ‎(2)由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P(－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9‎ ‎＝13.59%，故选B．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 正态分布下的概率计算常见的两类问题 ‎(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．‎ ‎1．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ等于________．‎ ‎ 根据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.‎ ‎ 4‎ ‎2．(2017·福建省毕业班质量检测)若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(25)＝P(X<－1)＝0.2，所以μ＝＝2，所以P(22)－P(X>5)＝0.5－0.2＝0.3.‎ ‎ 0.3‎ ‎)‎ ‎——离散型随机变量的综合问题 ‎　(本题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意知A1与A2相互独立，A12与1 A 2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，(2分)‎ 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，(3分)‎ P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)‎ ‎＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)‎ ‎＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)‎ ‎＝×＋×＝.(5分)‎ 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.(6分)‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.(7分)‎ 于是P(X＝0)＝C＝，‎ P(X＝1)＝C＝，‎ P(X＝2)＝C＝，‎ P(X＝3)＝C＝.(10分)‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(11分)‎ X的数学期望为E(X)＝3×＝.(12分)‎ ‎　(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题．‎ ‎(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．‎ ‎1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B． C. D． ‎　C　 依题意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故选C.‎ ‎2．已知展开式中的常数项为a，且X～N(1，1)，则P(30.5，‎ 所以x∈(4，5)．‎ 由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，‎ 所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．‎ ‎(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为P＝，‎ 随机变量X的所有可能取值为－4，－2，0，2，4.‎ P(X＝－4)＝＝，‎ P(X＝－2)＝C＝，‎ P(X＝0)＝C＝，‎ P(X＝2)＝C＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P E(X)＝(－4)×＋(－2)×＋0×＋2×＋4×＝.‎ ‎8．在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．‎ ‎(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；‎ ‎(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．‎ ‎ (1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1，2，3，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ 所以考生甲正确回答题数的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ 又η～B，其分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(η)＝np＝3×＝2.‎ ‎(2)因为D(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝，‎ D(η)＝np(1－p)＝3××＝，‎ 所以D(ξ)P(η≥2)．‎ 从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，‎ 甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．‎ ‎9．(2017·湖南衡阳一中月考)网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝网购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城中选择一家购物．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率；‎ ‎(2)用X，Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率；‎ ‎(3)记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．　‎ ‎ (1)每个人去淘宝网购物的概率都为，去京东商城购物的概率都为1－＝，这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率为C＝.‎ ‎(2)由题意可知X～B(4，p)，‎ 则P(X＝k)＝Cpk(1－p)4－k(k＝0，1，2，3，4)，‎ 这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝.‎ ‎(3)ξ可取0，2，4，‎ P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝，P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝，‎ P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝.‎ 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P E(ξ)＝.‎ ‎10．云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5，16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，‎ 将测量结果按如下方式分成6组：第1组，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．‎ ‎(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；‎ ‎(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；‎ ‎(3)从这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．‎ 参考数据：‎ 若ξ～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，‎ P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，‎ P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.‎ ‎ (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．‎ ‎(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，‎ 所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.‎ ‎(3)因为P(170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.997 3，‎ 所以P(ξ≥182.5)＝＝0.001 35，‎ 又0.001 35×100 000＝135.‎ 所以身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前135名．‎ 因为该校这50名男生中身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是 P(ξ＝0)＝＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝＝.‎ 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎