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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版等差数列、等比数列学案

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专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列 高考导航 对等差、等比数列基本量的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解.‎ ‎2.对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现,具有“新、巧、活”的特点,考查利用性质解决有关计算问题.‎ ‎3.对等差、等比数列的判断与证明,主要出现在解答题的第一问,是为求数列的通项公式而准备的,因此是解决问题的关键环节.‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎[解析] 设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )‎ A.-24 B.-3 C.3 D.8‎ ‎[解析] 设等差数列{an}的公差为d,依题意得a=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,∴S6=6×1+×(-2)=-24.故选A.‎ ‎[答案] A ‎3.(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.‎ ‎[解析] ∵an+1=2Sn+1,∴a2=2S1+1,即S2-a1=‎2a1+1,又∵S2=4,∴4-a1=‎2a1+1,解得a1=1.‎ 又an+1=Sn+1-Sn,‎ ‎∴Sn+1-Sn=2Sn+1.‎ 解法一:Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.‎ 解法二:Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3.又S1+=,∴是首项为,公比为3的等比数列,‎ ‎∴Sn+=×3n-1,即Sn=,‎ ‎∴S5==121.‎ ‎[答案] 1 121‎ ‎4.(2017·绵阳三诊)已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.‎ ‎(1)求证:数列{S}为等差数列;‎ ‎(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析] (1)证明:由题意知2Sn=an+,‎ 即2Snan-a=1.①‎ 当n=1时,由①式可得S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入①式得 ‎2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,‎ 整理得S-S=1.‎ ‎∴{S}是首项为1,公差为1的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知S=n,则Sn=,‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=-.‎ ‎∴bn===(-1)n(+).‎ 当n为奇数时,Tn=-1+(+1)-(+)+…+(+)-(+)=-;‎ 当n为偶数时,Tn=-1+(+1)-(+)+…-(+)+(+)=.‎ ‎∴{bn}的前n项和Tn=(-1)n.‎ 考点一 等差、等比数列的基本运算 ‎1.等差数列的通项公式及前n项和公式 an=a1+(n-1)d;‎ Sn==na1+d.‎ ‎2.等比数列的通项公式及前n项和公式 an=a1qn-1(q≠0);‎ Sn= ‎[对点训练]‎ ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎[解析] 等差数列{an}中,S6==48,则a1+a6=16=a2+a5,‎ 又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,‎ 得d=4,故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎[解析] 由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…,a7构成以2为公比的等比数列,∴S7==381,∴a1=3.故选B.‎ ‎[答案] B ‎3.(2017·湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=‎3a2+2,S4=‎3a4+2,则a1=( )‎ A.-2 B.-1 C. D. ‎[解析] 由S2=‎3a2+2,S4=‎3a4+2得a3+a4=‎3a4-‎3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍)或q=,将q=代入S2=‎3a2+2中得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1,故选B.‎ ‎[答案] B ‎4.(2017·东北三校联考)已知等差数列{an}满足a2=3,a5=9,若数列{bn}满足b1=3,bn+1=abn,则{bn}的通项公式为________.‎ ‎[解析] 由题意可得等差数列{an}的公差d==2,所以an=a2+(n-2)d=2n-1,则bn+1=abn=2bn-1,bn+1-1=2(bn-1),又因为b1-1=2,所以数列{bn-1}是首项为2、公比为2的等比数列,所以bn-1=2n,bn=2n+1.‎ ‎[答案] bn=2n+1‎ ‎ 等差(比)数列的运算注意两点 ‎(1)在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素.‎ ‎(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.‎ ‎【易错提醒】 等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q=1或q≠1两种情况讨论.‎ 考点二 等差、等比数列的性质 ‎[对点训练]‎ ‎1.(2017·广州六校联考)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是( )‎ A.15 B.30 C.31 D.64‎ ‎[解析] 因为a7+a9=‎2a8=16,所以a8=8.‎ 因为S11===‎11a6=,所以a6=,则d==,所以a12=a8+4d=15,故选A.‎ ‎[答案] A ‎2.(2017·太原模拟)已知等比数列{an}满足a1=,a‎3a5=4(a4-1),则a2=( )‎ A.2 B.1 C. D. ‎[解析] 由等比数列的性质,得a‎3a5=a=4(a4-1),‎ 解得a4=2.又a1=,所以q3==8,即q=2,‎ 故a2=a1q=×2=.‎ ‎[答案] C ‎3.(2017·合肥模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=1,S10=3,则S15的值是________.‎ ‎[解析] ∵数列{an}是等比数列,∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,∴(S10-S5)2=S5·(S15-S10),4=1×(S15-3),得S15=7.‎ ‎[答案] 7‎ ‎[探究追问] 3题中条件不变,如何求S100的值?‎ ‎[解析] 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为S5=1,S10=3,所以S100可表示为等比数列1,2,4,…的前20项和,故S100==220-1.‎ ‎[答案] 220-1‎ 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.‎ 考点三 等差、等比数列的判定与证明 ‎1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ‎(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;‎ ‎(2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).‎ ‎2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 ‎(1)利用定义,证明(n∈N*)为一常数;‎ ‎(2)利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).‎ ‎[解] (1)证明:由a1=1,及Sn+1=4an+2,‎ 有a1+a2=‎4a1+2,a2=‎3a1+2=5,‎ ‎∴b1=a2-‎2a1=3.‎ 由Sn+1=4an+2①‎ 知当n≥2时,有Sn=4an-1+2②‎ ‎①-②得an+1=4an-4an-1,‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1)‎ 又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,‎ ‎∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ ‎∴数列是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)×=n-,‎ an=(3n-1)·2n-2.‎ ‎ 等差、等比数列的判定与证明应注意的两点 ‎(1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n 项和公式,但不能作为证明方法.‎ ‎(2)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.‎ ‎ [对点训练]‎ 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.‎ ‎(1)求证:成等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,‎ 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,‎ 又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可得=2n,∴Sn=,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=- ‎==-.‎ 当n=1时,a1=不适合上式.‎ 故an= 热点课题11 函数与方程思想在数列中的应用 ‎ [感悟体验]‎ ‎1.(2017·西安统测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=13,S3=S11,则Sn的最大值为( )‎ A.49 B.28‎ C.-49或-28 D.28或49‎ ‎[解析] 由S3=S11,可得‎3a1+3d=‎11a1+55d,把a1=13代入得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数性质,知当n=7时,Sn最大,且最大值为49.‎ ‎[答案] A ‎2.(2017·河南郑州二中期末)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}的前n项的和,则(n∈N*)的最小值为( )‎ A.4 B.3 C.2-2 D. ‎[解析] ∵a1=1,a1、a3、a13成等比数列,‎ ‎∴(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去)‎ ‎∴an=2n-1,‎ ‎∴Sn==n2,‎ ‎∴=.令t=n+1,‎ 则=t+-2≥6-2=4当且仅当t=3,‎ 即n=2时,∴的最小值为4.故选A.‎ ‎[答案] A