2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷01（人教B版2019） 19页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷01（人教B版2019）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1．直线的倾斜角( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可得直线的斜率为，‎ 由斜率和倾斜角的关系可得，‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎2．若向量，向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为向量，向量，‎ 则，‎ 则.‎ ‎3．过两点，的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵直线经过两点，，而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，‎ ‎∴过两点，的直线方程为，即 ‎4．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 抛物线的准线方程为，‎ 即，故选A .‎ ‎5．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆的右焦点为知，‎ 又，∴，，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎6．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：找出点关于轴的对称点，连接，‎ 与轴的交于点，连接，此时为最短，‎ 由与关于轴对称，，‎ 所以，又，‎ 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以 故选：D．‎ ‎7．圆与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎【答案】C ‎【解析】因为圆的圆心为半径为，‎ 圆的圆心为半径为，‎ 而 所以两圆相内切.‎ ‎8．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设平面PEF的法向量，‎ 则，取得，‎ 设平面与平面所成角为，则 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（ ）‎ A．0 B．5 C．12 D．13‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，‎ 即，所以，故距离d可能等于5，12，13．‎ 故选：BCD ‎10．（多选题）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（ ）‎ A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)‎ C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：‎ A中，；‎ B中，；‎ C中，；‎ D中，；‎ 综上所述，选项A，B，C符合题意 ‎11．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ）‎ A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 ‎【答案】AD ‎【解析】解：对于A， ‎ ‎ ‎ 故三棱锥的体积为定值，故A正确 对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误 对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误 对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，‎ 设平面的法向量为则 ‎，即 令，则 所以直线与平面所成的角为，正确 ‎12．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的方程为 B．的离心率为 C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 ‎【答案】AC ‎【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；‎ 对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；‎ 对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；‎ 对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．若过点，的直线的倾斜角为，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，求得.‎ ‎14．已知，，若，则实数m的值为________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】因为，所以，解得．‎ ‎15．若直线与圆有且仅有一个公共点，则实数的值为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得或.‎ ‎16．已知，是双曲线C：（，）的左、右焦点，以为直径的圆与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，，则C的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，，‎ 所以，即，易得.‎ 设，，，‎ 由双曲线的定义得：，解得：，‎ 所以，‎ 因为，所以离心率.‎ 四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题10分）‎ 已知的顶点坐标分别是；‎ ‎（1）求边上的中线所在直线的方程（答案用斜截式方程）；‎ ‎（2）求过点C且与直线垂直的直线方程（答案用斜截式方程）.‎ ‎【解析】（1）∵，∴的中点坐标为，‎ ‎∴中线的斜率为，‎ ‎∴中线所在直线的方程为，‎ ‎（2）由已知可得的斜率为，‎ 所以与直线垂直的直线的斜率为 ‎∴与直线垂直的直线为 ‎18．（本小题12分）‎ 在直角坐标系中，已知圆与直线相切，‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求.‎ ‎【解析】解:（1）圆的方程可化为，‎ 圆心，半径，其中，‎ 因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，解得；‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，其方程为，‎ 此时圆心到直线的距离，‎ 由垂径定理，，不合题意；‎ 故直线斜率存在，设其方程为，‎ 即，‎ 圆心到直线的距离，‎ 由垂径定理，，即，‎ 解得，‎ 故直线的方程为，‎ 代入圆的方程，整理得，‎ 解得，，‎ 于是，，这里，)，‎ 所以.‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 设椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点(点在点的上方)求线段与的长度之比.‎ ‎【解析】（1）由题意知，、、，‎ 所以直线的方程为，‎ 即，‎ 则，‎ 因为为等腰三角形，所以，‎ 又，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）由题意知过右焦点的倾斜角为的直线为，‎ ‎ 、‎ 联立或，‎ 所以 ‎20．（本小题12分）‎ 平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 ‎（1）求圆O的方程；‎ ‎（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；‎ ‎（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）因为O到直线x－y＋1＝0的距离为 ， ‎ 所以圆O的半径r＝＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎（2）设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0， ‎ 由直线l与圆O相切，得＝，即＝，‎ 所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（） ‎ ‎＝2≥2‎ ‎＝8(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，‎ 此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎（3）设M(x1，y1)，P(x2，y2)，‎ 则N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，‎ 直线MP与x轴的交点为，即m＝ .‎ 直线NP与x轴的交点为，即n＝.‎ 所以mn＝ ＝‎ ‎＝＝＝2，‎ 故mn＝2为定值．‎ ‎21．（本小题12分）‎ 如图，在圆柱中，为圆的直径，C，D是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，，求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】（1）如图所示：‎ 连接，‎ 因为C，D是半圆上的两个三等分点，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，，均为等边三角形.‎ 所以，‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为是圆柱的母线，‎ 所以平面，平面，所以 因为为圆的直径，所以 在中，，，‎ 所以，‎ 所以在中，‎ ‎（方法一）因为，，，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以，如图所示：‎ 在内，作于点H，连接.‎ 因为，，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以，‎ 所以就是二面角的平面角.‎ 在中，，.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎（方法二）如图所示：‎ 以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，‎ 所以，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即 令，则，‎ 所以平面的一个法向量为.‎ 又因为平面的一个法向量.‎ 所以.‎ 所以结合图形得，二面角的余弦值为.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．‎ ‎【解析】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，‎ 故设双曲线方程为，‎ 则有解得a2＝3，b2＝2.‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎(2)不妨设M点在右支上，‎ 则有|MF1|－|MF2|＝2 ，‎ 又|MF1|＋|MF2|＝6，‎ 故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，‎ 又|F1F2|＝2，‎ 因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而 cos ∠MF2F1＝ ，‎ 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．‎