【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-1绝对值不等式学案 11页

知识点 考纲下载 绝对值不等式 理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 不等式的证明 ‎ 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．‎ ‎ 会用数学归纳法证明贝努利不等式：‎ ‎(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．‎ 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．‎ ‎ 会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．‎ ‎ 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．‎ 柯西不等式与排序不等式 ‎ 了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.‎ ‎(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ ‎(3)＋≥.‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式)‎ ‎ 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：‎ ‎ 会用向量递归方法讨论排序不等式.‎ 第1讲　绝对值不等式 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．‎ ‎3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．‎ 法二：利用“零点分区法”求解，体现了分类讨论的思想．‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎ 解不等式：|x－2|＋|x＋3|>7.‎ 解：因为|x－2|＋|x＋3|‎ ‎＝ 所以原不等式可化为 或或 解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．‎ ‎ 不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：由不等式的性质得|x＋3|－|x－1|＝|x＋3|－|1－x|≤|(x＋3)＋(1－x)|＝4‎ 所以a2－3a≥4，解得a≥4或a≤－1.‎ ‎ 对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．‎ 解：由|x－1|≤1与|y－2|≤1，可知不等式构成的区域为四条直线x＝0，x＝2，y＝1，y＝3围成的一个矩形区域，而|x－2y＋1|的最大值即为x－2y＋1的最大值或最小值对应的绝对值，为此可转化为求x－2y＋1的最值．‎ 记u＝x－2y＋1，即y＝x＋(1－u)，由数形结合易知，当直线经过不等式值域的区域内的点(2，1)与(0，3)时，y对应有最小值与最大值，此时对应的u值为1与－5，故|x－2y＋1|的最大值为5.‎ ‎ (2018·长沙市统一模拟考试)已知f(x)＝|x－a|＋|x－3|.‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤3的解集非空，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2，‎ 故f(x)的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．‎ ‎(2)f(x)＝|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，若不等式f(x)≤3的解集非空，‎ 则|3－a|≤3，‎ 即－3≤3－a≤3，‎ 因此0≤a≤6，‎ 所以a的取值范围是[0，6]．‎ 含绝对值不等式的解法 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，求a的值．‎ ‎【解】　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，‎ 所以或 或，‎ 所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，‎ 而f(x)≤1的解集是[0，2]，‎ 所以，解得a＝1.‎ ‎　 ‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.‎ 解：(1)当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，所以x<－3.‎ ‎(2)当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，‎ 所以－3≤x<－.‎ ‎(3)当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，所以x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．‎ 解：(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}．‎ 绝对值不等式性质的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设不等式|x－2|0，符合题意．‎ 综上可得f(x)≥0的解集为.‎ ‎(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．‎ 易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－19；‎ ‎(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.‎ ‎①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；‎ ‎②当－5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；‎ ‎③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.‎ 综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．‎ ‎(2)因为A∪B＝A，所以B⊆A.‎ 又B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，‎ 所以当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．‎ 由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.‎ 所以当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．‎ 所以实数a的取值范围为[－1，0]．‎ ‎5．(2018·湖北省七市(州)联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)>5；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．‎ 解：(1)由f(x)>5，得|x－2|>3，‎ 所以x－2<－3或x－2>3，‎ 解得x<－1或x>5.‎ 故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．‎ ‎(2)由f(x)≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对任意x∈R恒成立，‎ 当x＝0时，不等式4≥0恒成立，‎ 当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，‎ 因为≥＝1，所以m≤1，即m的取值范围是(－∞，1]‎ ‎1．(2018·湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－1时，求f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒＋≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，‎ 即原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为f(x)≤|2x＋1|的解集包含.‎ 所以当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，‎ 所以当x∈时，|2x－a|＋2x－1≤2x＋1上恒成立．‎ 所以2x－2≤a≤2x＋2在x∈上恒成立，‎ 所以(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，所以0≤a≤3.‎ ‎2．(2018·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．‎ ‎(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎(2)当a<时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)＝|x－a|＋，所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，‎ 所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，‎ 所以|m|≤1，即－1≤m≤1，所以实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a<时，‎ g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝ 所以g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，‎ 所以或 所以－≤a<0，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎3．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，‎ 解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4.‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|‎ ‎＝ 所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即0