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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-1绝对值不等式学案

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知识点 考纲下载 绝对值不等式 理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:‎ ‎(1)|a+b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:‎ ‎|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ 不等式的证明 ‎ 了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.‎ ‎ 会用数学归纳法证明贝努利不等式:‎ ‎(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数).‎ 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立.‎ ‎ 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.‎ ‎ 了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.‎ 柯西不等式与排序不等式 ‎ 了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式:|α|·|β|≥|α·β|.‎ ‎(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.‎ ‎(3)+≥.‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式)‎ ‎ 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:‎ ‎ 会用向量递归方法讨论排序不等式.‎ 第1讲 绝对值不等式 ‎1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎2.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<-a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.‎ 法二:利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的思想.‎ 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎ 解不等式:|x-2|+|x+3|>7.‎ 解:因为|x-2|+|x+3|‎ ‎= 所以原不等式可化为 或或 解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<-4或x>3}.‎ ‎ 不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解:由不等式的性质得|x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4‎ 所以a2-3a≥4,解得a≥4或a≤-1.‎ ‎ 对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.‎ 解:由|x-1|≤1与|y-2|≤1,可知不等式构成的区域为四条直线x=0,x=2,y=1,y=3围成的一个矩形区域,而|x-2y+1|的最大值即为x-2y+1的最大值或最小值对应的绝对值,为此可转化为求x-2y+1的最值.‎ 记u=x-2y+1,即y=x+(1-u),由数形结合易知,当直线经过不等式值域的区域内的点(2,1)与(0,3)时,y对应有最小值与最大值,此时对应的u值为1与-5,故|x-2y+1|的最大值为5.‎ ‎ (2018·长沙市统一模拟考试)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的最小值;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤3的解集非空,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,‎ 故f(x)的最小值为2,当且仅当1≤x≤3时取得最小值.‎ ‎(2)f(x)=|x-a|+|x-3|≥|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,若不等式f(x)≤3的解集非空,‎ 则|3-a|≤3,‎ 即-3≤3-a≤3,‎ 因此0≤a≤6,‎ 所以a的取值范围是[0,6].‎ 含绝对值不等式的解法 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],求a的值.‎ ‎【解】 (1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,‎ 所以或 或,‎ 所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).‎ ‎(2)f(x)≤1即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,‎ 而f(x)≤1的解集是[0,2],‎ 所以,解得a=1.‎ ‎  ‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1.解不等式|x+3|-|2x-1|<+1.‎ 解:(1)当x<-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<10,所以x<-3.‎ ‎(2)当-3≤x<时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<-,‎ 所以-3≤x<-.‎ ‎(3)当x≥时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,所以x>2.‎ 综上可知,原不等式的解集为.‎ ‎2.(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.‎ ‎(1)画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ 解:(1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;‎ 当f(x)=-1时,可得x=或x=5,‎ 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.‎ 所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.‎ 绝对值不等式性质的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设不等式|x-2|0,符合题意.‎ 综上可得f(x)≥0的解集为.‎ ‎(2)设u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和y=x的图象如图所示.‎ 易知y=u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位),与y=x的图象始终有3个交点,从而-19;‎ ‎(2)设关于x的不等式f(x)≤|x-4|的解集为A,B={x∈R||2x-1|≤3},如果A∪B=A,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当a=5时,f(x)=|x+5|+|x-2|.‎ ‎①当x≥2时,由f(x)>9,得2x+3>9,解得x>3;‎ ‎②当-5≤x<2时,由f(x)>9,得7>9,此时不等式无解;‎ ‎③当x<-5时,由f(x)>9,得-2x-3>9,解得x<-6.‎ 综上所述,当a=5时,关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<-6或x>3}.‎ ‎(2)因为A∪B=A,所以B⊆A.‎ 又B={x∈R||2x-1|≤3}={x∈R|-1≤x≤2},关于x的不等式f(x)≤|x-4|的解集为A,‎ 所以当-1≤x≤2时,f(x)≤|x-4|恒成立.‎ 由f(x)≤|x-4|得|x+a|≤2.‎ 所以当-1≤x≤2时,|x+a|≤2恒成立,即-2-x≤a≤2-x恒成立.‎ 所以实数a的取值范围为[-1,0].‎ ‎5.(2018·湖北省七市(州)联考)已知函数f(x)=|x-2|+2,g(x)=m|x|(m∈R).‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)>5;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立,求m的取值范围.‎ 解:(1)由f(x)>5,得|x-2|>3,‎ 所以x-2<-3或x-2>3,‎ 解得x<-1或x>5.‎ 故原不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.‎ ‎(2)由f(x)≥g(x),得|x-2|+2≥m|x|对任意x∈R恒成立,‎ 当x=0时,不等式4≥0恒成立,‎ 当x≠0时,问题等价于m≤对任意非零实数恒成立,‎ 因为≥=1,所以m≤1,即m的取值范围是(-∞,1]‎ ‎1.(2018·湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x-1|(a∈R).‎ ‎(1)当a=-1时,求f(x)≤2的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当a=-1时,f(x)=|2x+1|+|2x-1|,f(x)≤2⇒+≤1,上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点-,距离之和小于或等于1,则-≤x≤,‎ 即原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为f(x)≤|2x+1|的解集包含.‎ 所以当x∈时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,‎ 所以当x∈时,|2x-a|+2x-1≤2x+1上恒成立.‎ 所以2x-2≤a≤2x+2在x∈上恒成立,‎ 所以(2x-2)max≤a≤(2x+2)min,所以0≤a≤3.‎ ‎2.(2018·山西太原模拟)已知函数f(x)=|x-a|+(a≠0).‎ ‎(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)当a<时,函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)因为f(x)=|x-a|+,所以f(x+m)=|x+m-a|+,‎ 所以f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|,‎ 所以|m|≤1,即-1≤m≤1,所以实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a<时,‎ g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+= 所以g(x)min=g=-a+=≤0,‎ 所以或 所以-≤a<0,‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎3.(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=|3x+2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;‎ ‎(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.‎ 当x<-时,即-3x-2-x+1<4,‎ 解得-1时,即3x+2+x-1<4,无解.‎ 综上所述,不等式的解集为.‎ ‎(2)+=(m+n)=1+1++≥4.‎ 令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|‎ ‎= 所以当x=-时,g(x)max=+a,要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4,即0