2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§2-2　基本不等式与不等式的综合应用（讲解部分） 17页

考点一　基本不等式及其应用 1.基本不等式 其中   为正数 a , b 的算术平均数,   为正数 a , b 的几何平均数,基本不等 式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1) a 2 + b 2 ≥ 2 ab ( a , b ∈R). (2)   +   ≥ 2( a , b 同号). (3) ab ≤   ( a , b ∈R) . 基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件   ≤   a >0, b >0 a = b 考点清单 (4)   ≥   ≥   ≥   ( a , b ∈R + ). 3.利用基本不等式求最值 已知 x >0, y >0, (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当且仅当 x = y 时, x + y 有最① 　小     值② 　2        (简记: 积定和最小 ). (2)如果 x + y 是定值 s ,那么当且仅当 x = y 时, xy 有最③ 　大     值④             (简记: 和定积最大 ). 注意　(1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等”是指等号成立. (2) 连续使用基本不等式时,等号要同时成立 . 考点二　不等式的综合应用 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题 (1)恒成立问题:若 f ( x )在区间 D 上存在最小值,则不等式 f ( x )> A 在区间 D 上恒 成立 ⇔ f ( x ) min > A ( x ∈ D ); 若 f ( x )在区间 D 上存在最大值,则不等式 f ( x )< B 在区间 D 上恒成立 ⇔ f ( x ) max < B ( x ∈ D ). (2)能成立问题:若 f ( x )在区间 D 上存在最大值,则在区间 D 上存在实数 x 使不 等式 f ( x )> A 成立 ⇔ f ( x ) max > A ( x ∈ D ); 若 f ( x )在区间 D 上存在最小值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x )< B 成立 ⇔ f ( x ) min < B ( x ∈ D ). (3)恰成立问题:不等式 f ( x )> A 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )> A 的解集为 D ;不等式 f ( x )< B 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )< B 的解集为 D . 考法一 　利用基本不等式求最值 知能拓展 例1 　(1)(2019福建福州期中,7)已知一次函数 y =2 x +1的图象过点 P ( a , b )(其 中 a >0, b >0),则   的最小值是   (　　) A.1　    B.8　    C.9　    D.16 (2)(2018黑龙江哈尔滨三中一模)函数 y =log a ( x -3)+1( a >0且 a ≠ 1)的图象恒 过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny -1=0上,其中 m >0, n >0,则 mn 的最大值为   (    ) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (3)(2019广东化州第一次模拟)若正数 x , y 满足 x +3 y =5 xy ,当3 x +4 y 取得最小值 时, x +2 y 的值为   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.5 解题导引 　(1)要求   的最小值,需要找 a 与 b 之间满足的关系.如何找出这 个关系? b 用 a 表示之后,如何用基本不等式求最值? (2)与(1)有什么相似之处?函数图象所过定点如何求出? m 与 n 之间的关系是 什么?如何用 m , n 间的关系求 mn 的最大值? (3)与前两个小题有什么不同之处?要求3 x +4 y 的最小值,如何使用 x +3 y =5 xy 这个条件?能否把 x +3 y =5 xy 化成一边为常数“1”的形式?如何构造“和 定”或“积定”? 解析 　(1)将 P ( a , b )代入 y =2 x +1得到 b =2 a +1,从而   =   =4 a +   +4 ≥ 2   +4=8,当且仅当4 a =   ,即 a =   时取“=”,所以   的最小值为8.故 选B. (2)由 x -3=1得 x =4, ∴函数 y =log a ( x -3)+1( a >0且 a ≠ 1)的图象恒过定点 A (4,1),∵点 A 在直线 mx + ny -1=0上,∴4 m + n =1, 解法一:∵1=4 m + n ≥ 2   ,当且仅当4 m = n 时取等号,∴ mn ≤   ,∴ mn 的最 大值为   . 解法二: mn =   ·4 m · n ≤     =   ,当且仅当   即 m =   , n =   时取“=”.故选D. (3)∵ x +3 y =5 xy , x >0, y >0,∴   +   =1,∴3 x +4 y =(3 x +4 y )   =   +   +   × 3 ≥   +2   =5,当且仅当   =   ,即 x =2 y =1时取等号, x +2 y 的值为2. 故选B. 答案 　(1)B　(2)D　(3)B 方法总结 　利用基本不等式求最值应满足的三个条件 (1)一正:各项或各因式均为正; (2)二定:和或积为定值; (3)三相等:各项或各因式能取到使等号成立的值. 简记:一正、二定、三相等. 如果解题过程中不满足上述条件,那么可进行拆分或配凑因式,以满足以上 三个条件. 考法二 　一元二次不等式恒成立问题的解法 例2     (2019山西吕梁第一次阶段性测试(改编))已知在R上单调递减的函数 f ( x )是奇函数.若对于任意的 t ∈[-1,1],不等式 f ( t 2 -2)+ f (2 a - at ) ≥ 0恒成立,则实 数 a 的取值范围是 　　　　　     . 解题导引 　第一步,先利用函数 f ( x )的奇偶性、单调性,找出 t 2 -2与2 a - at 的大 小关系;第二步,由 t ∈[-1,1]及恒成立条件明确主变量;第三步,将不等式恒 成立问题转化为函数值恒非负问题,此处是一个关于 t 的二次函数,当 t ∈[-1, 1]时恒小于或等于0的问题. 解析　 ∵ f ( t 2 -2)+ f (2 a - at ) ≥ 0,∴ f ( t 2 -2) ≥ - f (2 a - at ), 又 f ( x )是奇函数, ∴ f ( t 2 -2) ≥ f ( at -2 a ),又 f ( x )为减函数, ∴ t 2 -2 ≤ at -2 a 对任意的 t ∈[-1,1]恒成立. ∴ t 2 - at +2 a -2 ≤ 0对任意的 t ∈[-1,1]恒成立.令 g ( t )= t 2 - at +2 a -2, 则   解得 a ≤   . ∴实数 a 的取值范围为   . 答案        例3     (2018河南中原名校期中联考,18)已知不等式 mx 2 -2 x - m +1<0. (1)若对于所有的实数 x ,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足| m | ≤ 2的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 解析 　(1)当 m =0时,不等式 mx 2 -2 x - m +1<0可化为1-2 x <0,显然对所有的实 数 x ,不等式不恒成立.∴ m ≠ 0.设 f ( x )= mx 2 -2 x - m +1, ∵ f ( x )<0恒成立,∴   解得 m ∈ ⌀ . 综上可知,不存在使不等式恒成立的实数 m . (2)由题意得,-2 ≤ m ≤ 2,设 g ( m )=( x 2 -1) m +(1-2 x ),则由题意可得 g ( m )<0,故有   即   解得   < x <   , 所以 x 的取值范围为   . 方法总结     1.一元二次不等式恒成立的条件 设 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0). (1) f ( x )>0(或 ≥ 0)对于一切 x ∈R恒成立的条件是   (2) f ( x )<0(或 ≤ 0)对于一切 x ∈R恒成立的条件是   (3)当 a >0时, f ( x )>0在 x ∈[ α , β ]上恒成立 ⇔   或   或   f ( x )<0在 x ∈[ α , β ]上恒成立 ⇔   (4)当 a <0时, f ( x )>0在 x ∈[ α , β ]上恒成立 ⇔   f ( x )<0在 x ∈[ α , β ]上恒成 立 ⇔   或   或   2.对于参数易分离的一元二次不等式恒成立问题,可以分离参数转化为求 具体函数的最值问题.同时一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道 谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. 例     (2019江苏盐城三模,20)某人承包了一块矩形土地 ABCD 用来种植草 莓,其中 AB =99 m, AD =49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大 棚 n ( n ∈N * )个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄 膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每两个 大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中 EF =1 m), 这部分的建设造价为每平方米31.4元. (1)当 n =20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π) (2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低.(π取3.14)   实践探究 解题导引 　(1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求出 每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含与 地面接触的面). (2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为 r m,由已知条件知, n 个半圆柱型大 棚间有( n -1)个1米宽的空地,分析出 n , r 之间的关系,即2 nr +( n -1) × 1=99,再把 r 用 n 表示出来,将总建设造价均用 n 表示,求出费用关于 n 的函数关系,再求其 取最小值时 n 的值. 解析 　设每个半圆柱型大棚的底面半径为 r m. (1)当 n =20时,共有19个空地,所以 r =   =2, 所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为π r 2 +π r · AD =π × 2 2 +2π × 49.5 =103π(m 2 ). (2)设两项费用的和为 f ( n )元. 因为 r =   =   , 所以每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面) S =π r 2 +π r · AD =π ×   +π × 49.5 ×   , 则 f ( n )=10 nS +31.4 × 1 × 49.5( n -1) =10 n   +31.4 × 1 × 49.5( n -1) =31.4 ×   =   ×   =   ×   =   ×   . 因为   + n ≥ 2   =20,所以,当且仅当   = n ,即 n =10时, f ( n )取得最小值 90 290.7. 答:当大棚的个数为10时,上述两项费用的和最低.