2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-6利用空间向量证明平行与垂直课件苏教版 15页

第六节　利用空间向量证明平行与垂直 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 ( 或重合 ) 的非零向 量 , 一条直线的方向向量有 _____ 个 平面的 法向量 直线 l ⊥ 平面 α, 取直线 l 的方向向量 , 则这个向量叫做平面 α 的法向量 . 显然一个平面的法向量有 _____ 个 , 它们是共 线向量 无数 无数 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l 1 , l 2 的方向向量分别为 n 1 , n 2 l 1 ∥ l 2 n 1 ∥ n 2 ⇔ _______ l 1 ⊥ l 2 n 1 ⊥ n 2 ⇔ ________ 直线 l 的方向向量为 n , 平面 α 的法向量为 m l ∥α n ⊥ m ⇔ _______ l ⊥α n ∥ m ⇔ ______ 平面 α,β 的法向量分别为 n , m α∥β n ∥ m ⇔ ______ α⊥β n ⊥ m ⇔ _______ n 1 =λ n 2 n 1 · n 2 =0 m · n =0 n =λ m n =λ m n · m =0 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 一个平面的法向量是唯一确定的 . ( 　　 ) (2) 每一条直线都有两个方向向量 . ( 　　 ) (3) 若两平面的法向量垂直 , 则两平面平行 . ( 　　 ) (4) 若两直线的方向向量不平行 , 则两直线不平行 . ( 　　 ) (5) 若直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直 , 则此直线与该平面平行 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 一个平面有无数个法向量 , 它们都是共线向量 . (2)×. 每一条直线都有无数个方向向量 . (3)×. 若两平面的法向量平行 , 则两平面平行 . (4)√. (5)×. 此直线也可能在该平面内 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 忽略方向向量与法向量的任意性致误 考点一、 T1,2 2 忽略线面、面面垂直判定定理的向量表示法的应用 考点二、角度 1,2 【 教材 · 基础自测 】 1.( 选修 2-1 P105 练习 T1(2) 改编 ) 若直线 l 的方向向量为 a , 平面 α 的法向量为 n , 能使 l ∥α 的是 ( 　　 ) A. a =(1,0,0), n =(-2,0,0) B. a =(1,3,5), n =(1,0,1) C. a =(0,2,1), n =(-1,0,-1) D. a =(1,-1,3), n =(0,3,1) 【 解析 】 选 D. 若 l ∥α, 则 a · n =0, 经验证知 D 满足条件 . 2.( 选修 2-1 P105 练习 T1(4) 改编 ) 设 u =(-2,2,t), v =(6,-4,4) 分别是平面 α,β 的法向量 . 若 α⊥β, 则 t= ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 因为 α⊥β, 则 u · v =-2×6+2×(-4)+4t=0, 所以 t=5. 3.( 选修 2-1P105 练习 T1(5) 改编 ) 已知平面 α,β 的法向量分别为 n 1 =(2,3,5), n 2 =(-3,1,-4), 则 ( 　　 ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D. 以上均不对 【 解析 】 选 C. 因为 n 1 ≠λ n 2 , 且 n 1 · n 2 =2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0, 所以 α,β 既不平行 , 也不垂直 . 4.( 选修 2-1 P105 练习 T1(3) 改编 ) 设 u , v 分别是平面 α,β 的法向量 , u =(-2,2,5), 当 v =(3,-2,2) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________; 当 v =(4,-4,-10) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________.  【 解析 】 当 v =(3,-2,2) 时 , u · v =(-2,2,5) · (3,-2,2)=0⇒α⊥β. 当 v =(4, -4,-10) 时 , v =-2 u ⇒α∥β. 答案 : α⊥β 　 α∥β