- 584.00 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第二节 空间图形的基本关系与公理
[最新考纲] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
(对应学生用书第125页)
1.空间图形的公理
(1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
(2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内).
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.
②范围:.
(3)定理(等角定理)
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
aα
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α=A
有且只有一个公共点
- 10 -
直线a与平面α垂直
a⊥α
(2)空间中两个平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β=l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β=a
1.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
2.等角定理的引申
(1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等.
(2)在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补.
3.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线. ( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. ( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. ( )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线. ( )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
- 10 -
1.下列命题正确的是( )
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D [根据确定平面的公理和推论知选项D正确.]
2.若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( )
A.平面α内的所有直线与a异面
B.平面α内不存在与a平行的直线
C.平面α内存在唯一的直线与a平行
D.平面α内的直线与a都相交
B [由题意知直线a与平面α相交,则平面α内不存在与a平行的直线,故选B.]
3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
C [连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角,又B1D1=B1C=D1C,
∴∠D1B1C=60°.]
4.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.
(1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD [(1)若四边形EFGH为菱形,
则EF=EH,∵EFAC,EHBD,
∴AC=BD.
(2)若四边形EFGH为正方形,
- 10 -
则EF=EH且EF⊥EH,
∵EFAC,EHBD,
∴AC=BD且AC⊥BD.]
(对应学生用书第126页)
⊙考点1 平面基本性质的应用
共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
(2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.
(3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(1)以下命题中,正确命题的个数是( )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
①E,C,D1,F四点共面;
②CE,D1F,DA三线共点.
(1)B [①正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;②中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故②错误;③中,直线b,c可能是异面直线,故③错误;④中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故④错误.]
- 10 -
(2)[证明] ①如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
②∵EF∥CD1,EF