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- 2021-06-10 发布
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新课标高一数学同步测试 圆的方程
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填
在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分).
1.方程 052422 mymxyx 表示圆的充要条件是 ( )
A. 14
1 m B. 14
1 mm 或 C.
4
1m D. 1m
2.方程 0322 222 aaayaxyx 表示的图形是半径为 r ( 0r )的圆,则该圆
圆心在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若方程 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F 所表示的曲线关于直线 yx 对称,
必有 ( )
A. EF B. DF C. DE D. ,,D E F 两两不相等
4.点( 1,2 aa )在圆 x 2 +y 2 -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是 ( )
A.-1< <1 B. 0< <1 C.–1< <
5
1 D.- < <1
5.圆 222 2 0x y x y 的周长是 ( )
A. 22 B. 2 C. 2 D. 4
6.两圆 x2+y2-4x+6y=0 和 x2+y2-6x=0 的连心线方程为 ( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
7.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则 ( )
A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0
C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0
8.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为 ( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x-1)2+(y-1)2=4
C.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
9.方程 041 22 yxyx 所表示的图形是 ( )
A.一条直线及一个圆 B.两个点
C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆
10.要使 022 FEyDxyx 与 x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 ( )
A. 0,0422 FFED 且 B. 0,0 FD
C. 0,0 FD D. 0F
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).
11.圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 过原点的充要条件是 .
12.求圆 221xy上的点到直线 8xy的距离的最小值 .
(13、14 题已知)已知方程 2 2 2 42( 3) 2(1 4 ) 16 9 0x y t x t y t 表示一个圆.
13. t 的取值范围 .
14.该圆半径 r 的取值范围 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).
15.( 12 分)已知一圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5),且圆心 C 在直线 l: 2 3 0xy
上,求此圆的标准方程.
16.(12 分)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0),求
△ABC 外接圆的方程.
17.(12 分)求经过点 A(2,-1),和直线 1 yx 相切,且圆心在直线 xy 2 上的圆的
方程.
18.(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、Q,求以 PQ
为直径的圆的方程.
19.(14 分)已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半,
求:(1)动点 M 的轨迹方程;(2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.
20.(14 分)已知圆 22: -4 -14 45 0,C x y x y 及点 (-2,3 )Q .
(1) ( , 1) P a a 在圆上,求线段 PQ 的长及直线 的斜率;
(2)若 M 为圆C 上任一点,求||MQ 的最大值和最小值;
(3)若实数 ,mn满足 22-4 -14 45 0m n m n ,求 -3= +2
nK m
的最大值和最小值.
参考答案(九)
一、BDCDA CABDA
二、11. 222 rba ;12. 1322
3 ;13.
7
11 t ;14. 0 r ≤ 47
7
;
三、15.解:因为 A(2,-3),B(-2,-5),
所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(0,-4),
又 5 ( 3) 1
2 2 2ABk
,所以线段 AB 的垂直
平分线的方程是 24yx .
联立方程组 2 3 0
24
xy
yx
,解得 1
2
x
y
.
所以,圆心坐标为 C(-1,-2),半径 ||r CA 22(2 1) ( 3 2) 10 ,
所以,此圆的标准方程是 22( 1) ( 2) 10xy .
16.解:解法一:设所求圆的方程是 2 2 2( ) ( )x a y b r . ①
因为 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上,
所以它们的坐标都满足方程①,于是
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(4 ) (1 ) ,
(6 ) ( 3 ) ,
( 3 ) (0 ) .
a b r
a b r
a b r
可解得
2
1,
3,
25.
a
b
r
所以△ABC 的外接圆的方程是 22( 1) ( 3) 25xy .
解法二:因为△ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上,所以先求 AB、
BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标.
∵ 31 264ABk
, 0 ( 3) 1
3 6 3BCk
,
线段 AB 的中点为(5,-1),线段 BC 的中点为 33( , )22 ,
E
x
y
OC
B
A
x
y
B
A
x-2y-3=0
O
∴AB 的垂直平分线方程为 11 ( 5)2yx , ①
BC 的垂直平分线方程 333( )22yx . ②
解由①②联立的方程组可得
1,
3.
x
y
∴△ABC 外接圆的圆心为E(1,-3),
半径 22| | (4 1) (1 3) 5r AE .
故△ABC 外接圆的方程是 22( 1) ( 3) 25xy .
17.解:因为圆心在直线 xy 2 上,所以可设圆心坐标为(a,-2a),据题意得:
2
|12|)12()2( 22 aaaa , ∴ 222 )1(2
1)21()2( aaa ,
∴ a =1, ∴ 圆心为(1,-2),半径为 2 , ∴所求的圆的方程为 2)2()1( 22 yx .
18.解:已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、Q,求以 PQ 为直径的圆的
方程.
解法 1:设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则点 P、Q 的坐标满足方程组
x2+y2+x-6y+3=0,x+2y-3=0,
x1=1,x2=-3,
解方程组,得
y1=1,y2=3,
即点 P(1,1),Q(-3,3)∴线段 PQ 的中点坐标为(-1,2)
|PQ|= 2
21
2
21 )()( yyxx =2 5 ,故以 PQ 为直径的圆的方程是:
(x+1)2+(y-2)2=5
解法 2:设所求圆的方程为 x2+y2+x-6y+3+λ (x+2y-3)=0,
整理,得:x2+y2+(1+λ )x+(2λ -6)y+3-3λ =0,
此圆的圆心坐标是:(-
2
1 ,3-λ ), 由圆心在直线 x+2y-3=0 上,得
- +2(3-λ )-3=0 解得λ =1
故所求圆的方程为:x2+y2+2x-4y=0.
19.解:(1)设动点 M(x,y)为轨迹上任意一点,则点 M 的轨迹就是集合
P 1{ || | | |}2M MA MB.
由两点距离公式,点 M 适合的条件可表示为 2 2 2 21( 2) ( 8)2x y x y ,
平方后再整理,得 2216xy. 可以验证,这就是动点 M 的轨迹方程.
(2)设动点 N 的坐标为(x,y),M 的坐标是(x1,y1).
由于 A(2,0),且N为线段 AM 的中点,所以
12
2
xx , 10
2
yy .所以有 1 22xx, 1 2yy ①
由(1)题知,M 是圆 2216xy上的点,
所以 M 坐标(x1,y1)满足: 22
1116xy②
将①代入②整理,得 22( 1) 4xy .
所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆(如图中的虚圆为所求).
20.解:(1)∵ 点 P(a,a+1)在圆上,
∴ 045)1(144)1( 22 aaaa , ∴ 4a , P(4,5),
∴ 102)35()24(|| 22 PQ , KPQ=
3
1
42
53
,
(2)∵ 圆心坐标 C 为(2,7),
∴ 24)37()22(|| 22 QC ,
∴ 262224|| max MQ , 222224min|| MQ 。
(3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为: 032 )2(3 kykxxky 即, ,
易知直线 l 与圆方程相切时,K 有最值, ∴ 22
1
|3272|
2
k
kk ,
∴ 32 k ∴
2
3
m
nK 的最大值为 32 ,最小值为 32 .