【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的基本定理及坐标表示学案 20页

第 2 讲 平面向量的基本定理及坐标表示 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点 1 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内 的任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，称 e1，e2 为基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分 别为与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底． 考点 2 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向 量 i，j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实数 x，y，使得：a＝ xi＋yj，(x，y)叫做向量 a 的直角坐标，记作 a＝(x，y)，显然 i＝(1,0)， j＝(0,1)，0＝(0,0)． 考点 3 平面向量的坐标运算 1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. 2．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB → ＝(x2－x1，y2－y1)， |AB → |＝ x2－x12＋y2－y12. 考点 4 平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； (2)若 a≠0，则与 a 平行的单位向量为± a |a|. [必会结论] 1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则 A，B，C 三点共线的 充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个 条件且λ＋μ＝1 常被当作隐含条件运用． 3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有 无穷多组． [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)在等边三角形 ABC 中，向量AB → 与BC → 的夹角为 60°.( ) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2 ＝ y1 y2 .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．[2018·郑州一模]设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，若 a，b 方向相 反，则实数 x 的值是( ) A．0 B．±2 C．2 D．－2 答案 D 解析 由题意可得 a∥b，所以 x2＝4，解得 x＝－2 或 2，又 a， b 方向相反，所以 x＝－2.故选 D. 3．[课本改编]已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB → ＝3a，则点 B 的坐标为( ) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 答案 D 解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则AB → ＝(x＋1，y－5)．由AB → ＝3a， 得 x＋1＝6， y－5＝9， 解得 x＝5， y＝14. 故选 D. 4．[2017·山东高考]已知向量 a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若 a∥b， 则λ＝________. 答案 －3 解析 ∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3. 5．[2015·江苏高考]已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb ＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________． 答案 －3 解析 ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴ 2m＋n＝9， m－2n＝－8， ∴ m＝2， n＝5， ∴m－n＝2－5＝－3. 板块二 典例探究·考向突破 考向 平面向量基本定理的应用 例 1 [2018·许昌联考]在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB → ，BC → 分别为 a，b，则AH → ＝ ( ) A.2 5a－4 5b B.2 5a＋4 5b C．－2 5a＋4 5b D．－2 5a－4 5b 答案 B 解析 如图，设AH → ＝λAF → ， DH → ＝μDE → . 而DH → ＝DA → ＋AH → ＝－b＋λAF → ＝－b＋λ b＋1 2a ， DH → ＝μDE → ＝μ a－1 2b . 因此，μ a－1 2b ＝－b＋λ b＋1 2a . 由 于 a ， b 不 共 线 ， 因 此 由 平 面 向 量 的 基 本 定 理 ， 得 μ＝1 2λ， －1 2μ＝－1＋λ. 解之得λ＝4 5 ，μ＝2 5. 故AH → ＝λAF → ＝λ b＋1 2a ＝2 5a＋4 5b.故选 B. 触类旁通 应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用 基底表示为止； (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底 表示向量的唯一性求解． 【变式训练 1】 如图，已知▱ABCD 的边 BC，CD 的中点分别 是 K，L，且AK → ＝e1，AL → ＝e2，试用 e1，e2 表示BC → ，CD → . 解 设BC → ＝x，CD → ＝y，则BK → ＝1 2x，DL → ＝－1 2y. 由AB → ＋BK → ＝AK → ，AD → ＋DL → ＝AL → ，得 －y＋1 2x＝e1， ① x－1 2y＝e2， ② ①＋②×(－2)，得 1 2x－2x＝e1－2e2，即 x＝－2 3(e1－2e2)＝－2 3e1 ＋4 3e2，∴BC → ＝－2 3e1＋4 3e2. 同理可得 y＝2 3(－2e1＋e2)，即 CD → ＝－4 3e1＋2 3e2. 考向 平面向量的坐标表示 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB → ＝a，BC → ＝b，CA → ＝c，且CM → ＝3c，CN → ＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN → 的坐标． 解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1. (3)设 O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC → ＝3c， ∴OM → ＝3c＋OC → ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC → ＝－2b， ∴ON → ＝－2b＋OC → ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN → ＝(9，－18)． 触类旁通 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进 行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列 方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用． 【变式训练 2】 [2018·山东日照一中月考]在△ABC 中，点 P 在 BC 上，点 Q 是 AC 的中点，且BP → ＝2PC → .若PA → ＝(4,3)，PQ → ＝(1,5)，则 BC → 等于( ) A．(－6,21) B．(－2,7) C．(6，－21) D．(2，－7) 答案 A 解析 由题知，PQ → －PA → ＝AQ → ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)． 又因为点 Q 是 AC 的中点，所以AQ → ＝QC → . 所以PC → ＝PQ → ＋QC → ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)． 因为BP → ＝2PC → ，所以BC → ＝BP → ＋PC → ＝3PC → ＝3(－2,7)＝(－6,21)．故 选 A. 考向 平面向量共线的坐标表示 例 3 [2018·正定检测]已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)若AB → ＝2a＋3b，BC → ＝a＋mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的 值． 解 (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－1 2. (2)AB → ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)． BC → ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C 三点共线，∴AB → ∥BC → ， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝3 2. 触类旁通 利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量 为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入 λa 即可得到所求的向量． (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若 a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较 方便． 【变式训练 3】 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (3)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标． 解 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴ －m＋4n＝3， 2m＋n＝2， 解得 m＝5 9 ， n＝8 9. (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－16 13. (3)设 d＝(x，y)，则 d－c＝(x－4，y－1)， 又 a＋b＝(2,4)，|d－c|＝ 5， ∴ 4x－4－2y－1＝0， x－42＋y－12＝5， 解得 x＝3， y＝－1 或 x＝5， y＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． 核心规律 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则， 将向量进行分解． 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则 是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理， 从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题． 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想 的运用． 满分策略 1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方 向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2.若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成x1 x2 ＝y1 y2 ，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2－x2y1＝0. 3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线. 板块三 启智培优·破译高考 创新交汇系列 4——坐标法求向量中的最值问题 [2017·全国卷Ⅲ]在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以 点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP → ＝λAB → ＋μAD → ，则λ＋μ的最大 值为( ) A．3 B．2 2 C. 5 D．2 解题视点 建立平面直角坐标系，求出 A，B，C，D 的坐标，用 三角函数表示出点 P 的坐标，最后转化为三角函数的最值问题． 解析 分别以 CB，CD 所在的直线为 x 轴、y 轴建立直角坐标系， 则 A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)． ∵点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， ∴可设 P 2 5cosθ， 2 5sinθ . 则AB → ＝(0，－1)，AD → ＝(－2,0)， AP → ＝ 2 5cosθ－2， 2 5sinθ－1 . 又AP → ＝λAB → ＋μAD → ， ∴λ＝－ 2 5sinθ＋1，μ＝－ 1 5cosθ＋1， ∴λ＋μ＝2－ 2 5sinθ－ 1 5cosθ＝2－sin(θ＋φ)， 其中 tanφ＝1 2 ，∴(λ＋μ)max＝3. 答案 A 答题启示 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标 运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐标运 算使得本题比较容易解决，体现了解析法坐标法解决问题的优势， 凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基 础. 跟踪训练 [2018·湖南模拟]给定两个长度为 1 的平面向量OA → 和OB → ，它们的 夹角为2π 3 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的AB ︵ 上运动．若OC → ＝xOA → ＋ yOB → ，其中 x，y∈R，求 x＋y 的最大值． 解 以 O 为坐标原点，OA → 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标 系，如图所示， 则 A(1,0)，B －1 2 ， 3 2 . 设∠AOC＝α α∈ 0，2π 3 ，则 C(cosα，sinα)， 由OC → ＝xOA → ＋yOB → ，得 cosα＝x－1 2y， sinα＝ 3 2 y， 所以 x＝cosα＋ 3 3 sinα，y＝2 3 3 sinα， 所以 x＋y＝cosα＋ 3sinα＝2sin α＋π 6 ， 又α∈ 0，2π 3 ，所以当α＝π 3 时，x＋y 取得最大值 2. 板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标] 1．[2018·东北三校联考]已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP → ＝ 1 2MN → ，则 P 点的坐标为( ) A．(－8,1) B. －1，－3 2 C. 1，3 2 D．(8，－1) 答案 B 解析 设 P(x，y)，则MP → ＝(x－3，y＋2)． 而1 2MN → ＝1 2(－8,1)＝ －4，1 2 ， ∴ x－3＝－4， y＋2＝1 2. 解得 x＝－1， y＝－3 2. ∴P －1，－3 2 .故选 B. 2．已知平面向量 a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若 a∥b，则 3a＋2b ＝( ) A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8) 答案 B 解析 ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a ＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故选 B. 3．若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，AB → ＝(3,5)，AC → ＝ (2,4)，则AD → ＝( ) A．(－1，－1) B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5) 答案 A 解析 由题意可得AD → ＝BC → ＝AC → －AB → ＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－ 1)．故选 A. 4．[2018·福建模拟]在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出 来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案 B 解析 若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，故 a 不能由 e1，e2 表 示，排除 A；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为－1 5 ≠ 2 －2 ，所以 e1， e2 不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a＝(3,2)表示出来， C，D 选项中 e1，e2 都为共线向量，故 a 不能由 e1，e2 表示．故选 B. 5．[2018·广西模拟]若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)， 则 c＝( ) A．－1 2a＋3 2b B.1 2a－3 2b C.3 2a－1 2b D．－3 2a＋1 2b 答案 B 解析 设 c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2， λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝1 2 ，λ2＝－3 2 ，所以 c＝1 2a －3 2b.故选 B. 6．已知 O 为坐标原点，且点 A(1， 3)，则与OA → 同向的单位向 量的坐标为( ) A. 1 2 ， 3 2 B. －1 2 ， 3 2 C. 1 2 ，－ 3 2 D. －1 2 ，－ 3 2 答案 A 解析 与OA → 同向的单位向量 a＝ OA → |OA → | ，又|OA → |＝ 1＋ 32＝2，故 a＝1 2(1， 3)＝ 1 2 ， 3 2 .故选 A. 7．已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC → ＝(k＋1，k－2)， 若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( ) A．k＝－2 B．k＝1 2 C．k＝1 D．k＝－1 答案 C 解析 若点 A，B，C 不能构成三角形， 则向量AB → ，AC → 共线， ∵AB → ＝OB → －OA → ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC → ＝OC → －OA → ＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得 k＝1.故选 C. 8．若三点 A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数 a 的值为________． 答案 －5 4 解析 AB → ＝(a－1,3)，AC → ＝(－3,4)，据题意知AB → ∥AC → ，∴4(a－1) ＝3×(－3)，即 4a＝－5，∴a＝－5 4. 9．[2018·延安模拟]已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB， 三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为________． 答案 (2,4) 解析 因为在梯形 ABCD 中，DC＝2AB，AB∥CD，所以DC → ＝ 2AB → . 设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC → ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， AB → ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， 所以 4－x＝2， 2－y＝－2， 解得 x＝2， y＝4， 故点 D 的坐标为(2,4)． 10．向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c＝λa＋ μb(λ，μ∈R)，则λ μ ＝________. 答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标 系(设每个小正方形边长为 1)， 则 A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝AO → ＝(－1,1)，b＝OB → ＝(6,2)，c＝BC → ＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3. 解得λ＝－2，μ＝－1 2 ，∴λ μ ＝4. [B 级 知能提升] 1．[2018·广东七校联考]已知向量 i，j 不共线，且AB → ＝i＋mj，AD → ＝ni＋j，m≠1，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应满足的条件 是( ) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 答案 C 解析 因为 A，B，D 三点共线，所以AB → ∥AD → ，存在非零实数λ， 使得AB → ＝λAD → ，即 i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因 为 i 与 j 不共线，所以 1－λn＝0， m－λ＝0， 则 mn＝1.故选 C. 2．[2018·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满 足OC → ＝2 3OA → ＋1 3OB → ，则 |AC → | |AB → | 的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.2 5 答案 B 解析 由已知得，3OC → ＝2OA → ＋OB → ，即OC → －OB → ＝2(OA → －OC → )， 即BC → ＝2CA → ，如图所示， 故 C 为 BA 的靠近 A 点的三等分点，因而 |AC → | |AB → | ＝1 3.选 B. 3.在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点．若 AC → ＝λAE → ＋μAF → ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案 4 3 解析 选择AB → ，AD → 作为平面向量的一组基底，则AC → ＝AB → ＋AD → ， AE → ＝1 2AB → ＋AD → ，AF → ＝AB → ＋1 2AD → ，又AC → ＝λAE → ＋μAF → ＝ 1 2λ＋μ AB → ＋ λ＋1 2μ AD → ， 于是得 1 2λ＋μ＝1， λ＋1 2μ＝1， 即 λ＝2 3 ， μ＝2 3 ， 故λ＋μ＝4 3. 4．[2018·杭州测试]如图，以向量OA → ＝a，OB → ＝b 为邻边作▱OADB， BM → ＝1 3BC → ，CN → ＝1 3CD → ，用 a，b 表示OM → ，ON → ，MN → . 解 ∵BA → ＝OA → －OB → ＝a－b，BM → ＝1 6BA → ＝1 6a－1 6b， ∴OM → ＝OB → ＋BM → ＝1 6a＋5 6b.∵OD → ＝a＋b， ∴ON → ＝OC → ＋1 3CD → ＝1 2OD → ＋1 6OD → ＝2 3OD → ＝2 3a＋2 3b， ∴MN → ＝ON → －OM → ＝2 3a＋2 3b－1 6a－5 6b＝1 2a－1 6b.综上，OM → ＝1 6a＋ 5 6b，ON → ＝2 3a＋2 3b，MN → ＝1 2a－1 6b. 5.[2018·衡水中学调研]如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ， 其中OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角为 30°，且|OA → |＝|OB → |＝1， |OC → |＝2 3.若OC → ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 解 解法一：如图，作平行四边形 OB1CA1，则OC → ＝OB1 → ＋OA1 → ， 因为OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角为 30°，所以∠B1OC＝ 90°. 在 Rt△OB1C 中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2 3， 所以|OB1|＝2，|B1C|＝4， 所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2， 所以λ＋μ＝6. 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1,0)，B －1 2 ， 3 2 ，C(3， 3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 得 3＝λ－1 2μ， 3＝ 3 2 μ， 解得 λ＝4， μ＝2. 所以λ＋μ＝6.