【数学】2019届一轮复习北师大版函数﹑基本初等函数的图像与性质学案 16页

‎【考向解读】 ‎ ‎1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.‎ ‎2.对图象的考查主要有两个方面 一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.‎ ‎3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.‎ ‎【命题热点突破一】函数的性质及应用 ‎1．单调性 单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．‎ ‎2．奇偶性 奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．‎ ‎3．周期性 周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.‎ 例1、【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【变式探究】【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎【感悟提升】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．‎ ‎2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．‎ 例3、【2016年高考北京理数】设函数.‎ ①若，则的最大值为______________；‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b ‎【答案】(1)D　(2)C ‎(2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.学 ‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.‎ ‎2.【2017课标1，理11】设x、y、 为正数，且，则 A．2x<3y<5 B．5 <2x<3y C．3y<5 <2x D．3y<2x<5 ‎ ‎【答案】D ‎3.【2017北京，理5】已知函数，则 ‎（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 学 ‎ ‎4.【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.‎ ‎5.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，故选A．‎ ‎2.【2016年高考北京理数】已知，，且，则（ ）‎ A. B. C.D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】A 由，得，即，A不正确；‎ B 由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；‎ C 由，，得，故，C正确；‎ D 由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.‎ ‎3.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎4.【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）‎ ‎（A）0 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C。 ‎ ‎5.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎6.【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .‎ ‎【答案】4 2‎ ‎【解析】设，因为， ‎ 因此学* ‎ ‎7.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足 ‎，则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎8.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；‎ 当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题 ‎ ①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；‎ ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.‎ 其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.[ 学 ]‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.‎ ‎9.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）‎ ‎（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎10.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.‎ ‎11.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 因此。学 ‎ ‎12.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎13.【2016年高考北京理数】设函数.‎ ①若，则的最大值为______________；‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，‎ ‎①当时，，由图象可知的最大值是；‎ ‎②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．‎ ‎1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A.y＝cos B.y＝sin ‎ C.y＝ln D.y＝x2＋1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于y＝sin 是奇函数；y＝ln 是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos 是偶函数又有零点.学 ‎ ‎2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎【答案】C ‎3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)‎ A.{x|－1＜x≤0}‎ B.{x|－1≤x≤1}‎ C.{x|－1＜x≤1}‎ D.{x|－1＜x≤2}‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，由图知 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是(　　)‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x ‎，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.学 ‎ ‎7．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】C　‎ ‎8．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )‎ A．－1 B. C. D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】因为－2＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，所以f＝1－ ＝1－＝.‎ ‎9．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(B)‎ ‎【答案】B　‎ ‎10．(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是_________________________．‎ ‎【答案】(－1,3)‎ ‎【解析】　∵f(x)是偶函数，‎ ‎∴图象关于y轴对称．‎ 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，‎ 则f(x)的大致图象如图所示，‎ 由f(x－1)>0，得－2