高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 9页

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 明目标、知重点 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 导数的运算法则：设两个函数分别为 f(x)和 g(x) (1)f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) (2)f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3)fx gx ]′＝f′xgx－fxg′x [gx]2 (g(x)≠0)． 情境导学] 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导 数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如 何求？正是本节要研究的问题． 探究点一 导数的运算法则 思考 1 我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x) 的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． 思考 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式 适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现 f(x)·g(x)]′ ＝f′(x)·g′(x)以及 fx gx ′＝f′x g′x 的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符 号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”； (5)要注意区分参数与变量，例如 a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意 a′＝0. 例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1 ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)函数 y＝3x－lg x 是函数 f(x)＝3x 与函数 g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝ 1 xln 10 ， 利用函数差的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－ 1 xln 10 . 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数 求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构 形式再求导数． 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)y＝ x5＋ x7＋ x9 x ； (2)f(x)＝2－2sin2x 2 . 解 (1)∵y＝ x5＋ x7＋ x9 x ＝x2＋x3＋x4， ∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3. (2)∵f(x)＝2－2sin2x 2 ＝1＋cos x， ∴f′(x)＝－sin x. 例 2 求下列函数的导数： (1)f(x)＝x·tan x； (2)f(x)＝x－1 x＋1 . 解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin x cos x )′ ＝xsin x′cos x－xsin xcos x′ cos2x ＝sin x＋xcos xcos x＋xsin2x cos2x ＝sin xcos x＋x cos2x . (2)∵f(x)＝x－1 x＋1 ＝x＋1－2 x＋1 ＝1－ 2 x＋1 ， ∴f′(x)＝(1－ 2 x＋1 )′＝(－ 2 x＋1 )′ ＝－2′x＋1－2x＋1′ x＋12 ＝ 2 x＋12. 跟踪训练 2 求 f(x)＝ sin x 1＋sin x 的导数． 解 ∵f(x)＝ sin x 1＋sin x ， ∴f′(x)＝cos x1＋sin x－sin x·cos x 1＋sin x2 ＝ cos x 1＋sin x2. 探究点二 导数的应用 例 2 (1)曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为________________． 答案 3x－y＋1＝0 解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线 方程为 y－1＝3x，即 3x－y＋1＝0. (2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为________． 答案 (－2,15) 解析 设 P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，y′|x＝x0＝3x2 0－10＝2， ∴x2 0＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)． (3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝t－1 t2 ＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求 t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s(t)＝t－1 t2 ＋2t2＝t t2－1 t2＋2t2＝1 t －1 t2＋2t2， ∴s′(t)＝－1 t2＋2·1 t3＋4t， ∴s′(3)＝－1 9 ＋ 2 27 ＋12＝323 27 ， 即物体在 t＝3 s 时的瞬时速度为323 27 m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数 y＝f(x) 在点 x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，即 k＝y′|x＝x0＝f′(x0)； 瞬时速度是位移函数 s(t)对时间 t 的导数，即 v＝s′|t＝t0. 跟踪训练 2 (1)曲线 y＝ sin x sin x＋cos x －1 2 在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 2 2 D. 2 2 答案 B 解析 y′＝cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2 ＝ 1 sin x＋cos x2， 故 y′|x＝π 4 ＝1 2 ， ∴曲线在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为1 2 . (2)设函数 f(x)＝1 3 x3－a 2 x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1，确定 b、c 的值． 解 由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b， ∴f′(0)＝b＝0. 由切点 P(0，f(0))既在曲线 f(x)＝1 3 x3－a 2 x2＋bx＋c 上又在切线 y＝1 上知 f0＝c， y|x＝0＝1， 即 c＝1. 综上所述，b＝0，c＝1. 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于( ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案 D 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．函数 y＝cos x 1－x 的导数是( )． A.－sin x＋xsin x 1－x2 B.xsin x－sin x－cos x 1－x2 C.cos x－sin x＋xsin x 1－x2 D.cos x－sin x＋xsin x 1－x 答案 C 解析 y′＝ cos x 1－x ′＝－sin x1－x－cos x·－1 1－x2 ＝cos x－sin x＋xsin x 1－x2 . 3．已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值是( ) A.19 3 B.16 3 C.13 3 D.10 3 答案 D 解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝10 3 . 4．已知 f(x)＝1 3 x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 答案 1 解析 f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 5．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、 c 的值． 解 因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)， 所以 a＋b＋c＝1. 因为 y′＝2ax＋b， 所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为 4a＋b＝1. 又曲线过点(2，－1)， 所以 4a＋2b＋c＝－1. 由 a＋b＋c＝1， 4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1， 解得 a＝3， b＝－11， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9. 呈重点、现规律] 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构 形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 一、基础过关 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项， ∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．已知直线 y＝x＋b 是曲线 y＝f(x)＝ln x 的切线，则 b 的值等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．e 答案 A 解析 设切点的坐标为(x0，y0)，y＝f(x)＝ln x 在 x＝x0 处的导数为 f′(x0)＝1 x0 ， 所以1 x0 ＝1，所以 x0＝1，y0＝0. 又因为(x0，y0)在直线 y＝x＋b 上， 故 0＝1＋b，所以 b＝－1. 3．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于( ) A．2 B.1 2 C．－1 2 D．－2 答案 D 解析 ∵y＝x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， ∴y′＝－ 2 x－12.∴y′|x＝3＝－1 2 . ∴－a＝2，即 a＝－2. 4．已知曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k＝3 时的 P 点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D．(－1 2 ，－1 8 ) 答案 B 解析 y′＝3x2，∵k＝3， ∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( ) A．4 B．－1 4 C．2 D．－1 2 答案 A 解析 依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．若 f(x)＝(2x＋a)2，且 f′(2)＝20，则 a＝________. 答案 1 解析 ∵f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ∴f′(x)＝8x＋4a，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 7．若某物体做 s＝(1－t)2 的直线运动，则其在 t＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 答案 0.4 m/s 解析 ∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2， ∴v＝s′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)． 二、能力提升 8．当函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0 处的导数为 0 时，那么 x0＝( ) A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y′＝ x2＋a2 x ′＝2x·x－x2＋a2 x2 ＝x2－a2 x2 ， 由 x2 0－a2＝0 得 x0＝±a. 9．若函数 f(x)＝1 3 x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则 f′(1)＝____. 答案 6 解析 ∵f(x)＝1 3 x3－f′(－1)·x2＋x＋5， ∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，将 x＝－1 代入上式得 f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1， ∴f′(－1)＝－2，再令 x＝1，得 f′(1)＝6. 10．求曲线 y＝cos x 在点 A π 6 ， 3 2 处的切线方程为____． 答案 x＋2y－ 3－π 6 ＝0 解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴y′|x＝π 6 ＝－sinπ 6 ＝－1 2 ， ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 3 2 ＝－1 2 x－π 6 ， 即 x＋2y－ 3－π 6 ＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3 相切的直线方程． 解 点(2,0)不在曲线 y＝x3 上，可令切点坐标为(x0，x3 0)．由题意，所求直线方程的斜率 k＝x3 0－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x2 0，即 x3 0 x0－2 ＝3x2 0，解得 x0＝0 或 x0＝3. 当 x0＝0 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27， 则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0 或 27x－y－54＝0. 12．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x2 0－3， ∴切线方程为 y＝(3x2 0－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x2 0－1)x0＋16， 即 x3 0－3x0＝3(x2 0－1)x0＋16， 解得 x0＝－2， ∴切线方程为 9x－y＋16＝0. 三、探究与拓展 13．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形的面积为 定值，并求此定值． (1)解 由 7x－4y－12＝0 得 y＝7 4 x－3. 当 x＝2 时，y＝1 2 ，∴f(2)＝1 2 ，① 又 f′(x)＝a＋b x2，∴f′(2)＝7 4 ，② 由①，②得 2a－b 2 ＝1 2 ， a＋b 4 ＝7 4 . 解之得 a＝1 b＝3 . 故 f(x)＝x－3 x . (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋3 x2 0 )(x－x0)， 即 y－(x0－3 x0 )＝(1＋3 x2 0 )(x－x0)． 令 x＝0 得 y＝－6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为(0，－6 x0 )． 令 y＝x 得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为1 2 |－6 x0 ||2x0|＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值 为 6.