2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-1基本计数原理练习新人教B版 7页

‎11.1 基本计数原理 核心考点·精准研析 考点一　分类加法计数原理及其应用 ‎ ‎1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有 (　　)‎ A.30 B.20 C.10 D.6‎ ‎2.甲、乙、丙三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方法共有 (　　)‎ A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 ‎3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个“渐升数”是_________.  ‎ ‎【解析】1.选D.可分两类：一类两个数都为奇数：1，3；1，5；3，5，共3种方法；另一类两个数都为偶数：0，2；0，4；2，4，共3种方法，所以共有3+3=6种取法.‎ ‎2.选B.分两类：甲第一次踢给乙时，‎ 满足条件有3种方法(如图)，‎ 同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法.‎ 由分类加法计数原理知，共有3+3=6(种)传递方法.‎ ‎3.渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有6+5+4+3+2+1=21(个).‎ 形如 的渐升数共有5个.‎ 形如 的渐升数共有4个.‎ 故此时共有21+5+4=30(个).‎ 因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359.‎ 答案：1 359‎ ‎　应用分类加法计数原理的四个步骤 7‎ ‎(1)完成的一件事是什么.‎ ‎(2)确定分类时，n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事.‎ ‎(3)确定恰当的分类标准，对完成这件事的办法分类时要“不重不漏”，即每一种的方法必属于某一类，不同类中的方法都是不相同的.‎ ‎(4)把所有类中的方法数相加，即得完成这件事的方法数.‎ 考点二　分步乘法计数原理及其应用 ‎ ‎【典例】1.一个小朋友从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数，则他写出的三位数有　　　个. (　　) ‎ A.1 000 B.900 C.720 D.648‎ ‎2.已知集合A中有4个元素，B中有3个元素，C中有9个元素，则集合中的元素个数为_________. ‎ ‎3.有4个同学各自在2020年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动，则有多少种选法？‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由组成三位数想到先确定百位数字，再确定十位数字，最后确定个位数字 ‎2‎ 由x∈A，y∈B，z∈C想到先确定x，再确定y，最后确定z ‎3‎ 由4个同学在三天中任选一天，联想到每个人有3种选择.‎ ‎【解析】1.选D.分三个步骤：第一步确定百位数字，有9种方法，第二步确定十位数字，有9种方法，第三步确定个位数字，有8种方法，所以由分步乘法计数原理得他写出的三位数有9×9×8=648(个).‎ ‎2.分三个步骤，第一步确定x，有4种方法，第二步确定y，有3种方法，第三步确定z，有9种方法，由分步乘法计数原理得集合中元素个数为4×3×9=108.‎ 答案：108‎ ‎3.每个同学都有3种选择，所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81(种).‎ ‎　应用分步乘法计数原理的三个步骤：‎ ‎(1)完成的一件事是什么.‎ ‎(2)需要分几个步骤.每一步各有多少种方法.‎ 每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤，但是不能完成这件事.‎ 7‎ ‎(3)把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.‎ ‎1.(2019·济南模拟)某校2019年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人，其中数学科有7人，物理科有5人，化学科有3人，从三个学科中各选一人做护旗手，则选出这3个人的方法有　　　种 (　　) ‎ A.15 B.35‎ C.56 D.105‎ ‎【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手，所以应该分成三步：‎ 第一步，从数学科7人中选出1人，有7种方法，‎ 第二步，从物理科5人中选出1人，有5种方法，‎ 第三步，从化学科3人中选出1人，有3种方法，‎ 所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有7×5×3=105(种).‎ ‎2.从集合{1，2，3，…，11}中任意取两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)||x|<11，|y|<9}内的椭圆的个数是(　　)‎ A.43 B.72‎ C.86 D.90‎ ‎【解析】选B.根据题意，m是不大于10的正整数，n是不大于8的正整数.但是当m=n时，+=1是圆而不是椭圆.先确定n，n有8种可能，对每一个确定的n，m有10-1=9种可能，故满足条件的椭圆有8×9=72个.故选B.‎ 考点三　两个计数原理的综合应用 ‎ 命 题 精 解 读 考什么：(1)考查“分类”与“分步”的关系 ‎(2)考查两个计数原理的综合应用 怎么考：以实际问题(数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等)为背景，考查两个计数原理，多数是以选择题或填空题，或者解答题的一个小题的形式考查 新趋势：结合新背景，考查两个计数原理的综合应用 7‎ 学 霸 好 方 法 利用两个计数原理解题的关键 ‎(1)认真阅读审题，选择适合的分类标准进行合理分类，简化问题 ‎(2)根据题意，弄清楚完成一件事的要求，正确区分先分类再分步还是先分步再分类 数字问题 ‎【典例】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.(用数字作答) ‎ ‎【解析】分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：5×4×3×2=120，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为4×4×5×4×3=960，则共有1 080个.‎ 答案：1 080‎ 如何求与数字有关的计数问题？‎ 提示：(1)先确定是分类还是分步，分类时确定好统一标准，不重复，也不遗漏，分步时，确定好步骤.‎ ‎(2)先根据题意确定特殊数位的数字(如首位不能为0，奇数的个位为奇数等)，再确定其他位置上的数字.‎ 染色问题 ‎【典例】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. ‎ ‎【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60(种)染色方法.‎ 当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.‎ 7‎ 可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7=420(种).‎ ‎【一题多解1】以S，A，B，C，D顺序分步染色.‎ 第一步，S点染色，有5种方法；‎ 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；‎ 第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；‎ 第四步，C点染色，考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染 色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).‎ ‎【一题多解2】按所用颜色种数分类.‎ 第一类，5种颜色全用，共有5×4×3×2×1=120(种)不同的方法；‎ 第二类，只用4种颜色，‎ 则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×5×4×3×2=240(种)不同的方法；‎ 第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有5×4×3=60(种)不同的方法.由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为 ‎120+240+60=420(种).‎ 如何求解染色问题的计数？‎ 提示：(1)分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的染色顺序.‎ ‎(2)选择好分类标准，分清楚哪些可以同色，分类与分步交叉时不要计数重复，也不要遗漏.‎ 几何中的计数问题 ‎【典例】设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点(任意3点不共线)，从这些点中任取4个点最多可以构成　　　个四面体. (　　)‎ A.34 B.18 C.12 D.7‎ ‎【解析】选A.完成的一件事是“任取4个点构成四面体”，所以分成三类：第一类，从α上取1个点，β上取3个不同的点，可以构成四面体的个数为3×4=12，第二类，从α上取2个点，β上取2个不同的点，可以构成四面体的个数为3×6=18，第三类，从α上取3个点，β上取1个不同的点，可以构成四面体的个数为1×4=4，所以共有四面体的个数为 7‎ ‎12+18+4=34.‎ 如何解决几何中的计数问题？‎ 提示：(1)准确读取题目中的有用信息，明确已知与未知；‎ ‎(2)正确进行分类与分步，会在实际问题中应用它.‎ ‎1.小明有一盒10种颜色的画笔，给如图所示图形涂上颜色，相邻的两块颜色不能相同，则他可以有　　　种涂色方法 (　　) ‎ A.810 B.1 000‎ C.27 D.4 320‎ ‎【解析】选A.分三个步骤：第一步涂A，有10种方法，第二步涂B，有9种方法，第三步涂C，有9种方法，所以由分步乘法计数原理得共有10×9×9=810(种)涂色方法.‎ ‎2.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 (　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎【解析】选B.由题意可得，比40 000大的五位数万位只能是4或5，当万位是4时，由于该五位数是偶数，个位只能从0或2中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有2×4×3×2=48(种)情况；‎ 当万位是5时，由于该五位数是偶数，个位只能从0，2或4中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有3×4×3×2=72(种)情况；‎ 由分类加法计数原理可得，满足题意的数共有48+72=120(个).‎ ‎3.某班要从5名男生和3名女生中选出2人作为社区服务志愿者，若用变量x表示选出的志愿者中女生的人数，y表示对应的方法数，试用列表法表示这个函数.‎ ‎【解析】x的取值为0，1，2‎ ‎(1)x=0，即选出的2人都是男生，把5名男生编号为1，2，3，4，5，则选出的两人有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种方法，此时y=10.‎ 7‎ ‎(2)x=1，即选出的2人中1个男生，1个女生，‎ 分两个步骤，第一步选出男生，有5种方法，第二步选出女生，有3种方法，所以共有5×3=15种方法，此时y=15.‎ ‎(3)x=2，即选出的2人都是女生，有3种方法，此时y=3.列表如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎10‎ ‎15‎ ‎3‎ 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_________. ‎ ‎【解析】分两种情况讨论：(1)对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24(个).‎ ‎(2)对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.‎ 所以正方体中“正交线面对”共有36个.‎ 答案：36‎ 7‎