2020-2021学年人教A版数学必修3习题：第二章　统计 单元质量评估2 12页

第二章单元质量评估(二) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(每小题 5分，共 60分) 1．某中学有高一学生 400人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120人进行体能测试， 则从高三抽取的人数应为( C ) A．40 B．48 C．50 D．80 解析：因为高一、二、三年级的人数比为 4∶3∶5，所以从高三 应抽取的人数为 120× 5 12 ＝50. 2.某中学初中部共有 110名教师，高中部共有 150名教师，其性 别比例如图所示，则该校女教师的人数为( C ) A．93 B．123 C．137 D．167 解析：初中部的女教师人数为 110×70%＝77，高中部的女教师 人数为 150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为 77＋60＝137. 3．对于数据 3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是 3 ②这组数据的众数与中位数的数值不等 ③这组数据的中位数与平均数的数值相等 ④这组数据的平均 数与众数的数值相等 其中正确的结论有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由中位数、众数、平均数的概念知只有①是正确的． 4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的 茎叶图(如右图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A ) A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53 解析：由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45＋47 2 ＝46，众 数是 45，极差为 68－12＝56.故选 A. 5．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数 段 [0,80) [80,90 ) [90,10 0) [100,1 10) [110,1 20) [120,1 30) [130,1 40) [140,1 50) 人数 2 5 6 8 12 6 4 2 那么分数在[100,110)中的频率和分数不满 110 分的频率分别是 (精确到 0.01)( A ) A．0.18,0.47 B．0.47,0.18 C．0.18,0.50 D．0.38,0.75 解析：由分布表可知样本容量为 2＋5＋6＋8＋12＋6＋4＋2＝45， 在[100,110)中的频数为 8，故频率为 8 45 ≈0.18，不满 110 的频率为 2＋5＋6＋8 45 ≈0.47. 6．某次数学检测中，某一题目的得分情况如下： 得分(分) 0 1 2 3 4 百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 其中众数是( C ) A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分 解析：由于众数是出现次数最多的数，由表可知，0分出现的百 分率最大，所以众数是 0分． 7．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10株的分叉数后，计算 出样本方差分别为 s2甲＝11，s2乙＝3.4，由此可以估计( C ) A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐 B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同 C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐 D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较 解析：由于方差反映了样本数据的稳定性，且 s2甲>s2乙，所以乙种 水稻比甲种水稻分叉整齐． 8．2018年，中国部分商品价格出现了上涨．某市为了稳定市场， 确保农民增收，某农产品三月份以后的每月市场收购价格与其前三个 月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平 方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格： 月份 1 2 3 4 5 6 7 价格(元/担) 68 78 67 71 72 70 则前七个月该产品的市场收购价格的方差为( B ) A.75 7 B.76 7 C．11 D.78 7 解析：设 7月份的市场收购价格为 x，则 f(x)＝(x－71)2＋(x－72)2 ＋(x－70)2＝3x2－426x＋15 125＝3(x－71)2＋2，则当 x＝71时，7月 份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，即 7月份的市场收购价格为 71.计算前七个月该产品的市场收购价格的 平均数是 71，方差是 76 7 . 9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30名学 生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均值为 x ，则( D ) A．me＝m0＝ x B．me＝m0< x C．mes1 D．不能确定 解 析 ： 这 两 次 计 算 的 平 均 分 没 有 变 化 ， 则 s ＝ 70－ x 2＋100－ x 2＋… n ，s1＝ 90－ x 2＋80－ x 2＋… n ， ∴s>s1. 11．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1， x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…， n)都在直线 y＝1 2 x＋1上，则这组样本数据的相关系数为( D ) A．－1 B．0 C.1 2 D．1 解析：由所有样本点都在直线 y＝1 2 x＋1上，即相关性最强，且 为正相关，故相关系数为 1.故选 D. 12．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如 图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( C ) A．30% B．10% C．3% D．不能确定 解析：由题图可知，小波一星期的食品开支为 30＋40＋100＋80 ＋50＝300(元)，小波一星期的总开支为 300 30% ＝1 000(元)，则小波一星 期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 30 1 000 ×100%＝3%.故选 C. 二、填空题(每小题 5分，共 20分) 13．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机 抽取 50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，化验结果如下： 每升水中大肠杆菌个数 0 1 2 3 4 升数 17 20 10 2 1 则所取 50升水中平均含有大肠杆菌 1个/升，估计全部消毒过的 自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为 1个． 解 析 ： 50 升 水 中 平 均 含 有 大 肠 杆 菌 0×17＋1×20＋2×10＋3×2＋4×1 50 ＝1(个/升)，这是样本平均值，可 以用它估计总体． 14.如图是根据部分城市某年 6月份的平均气温(单位：℃)数据得 到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本 数据的分组为 [20.5,21.5)， [21.5,22.5)， [22.5,23.5)， [23.5,24.5)， [24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个数 为 11，则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 9. 解析：设样本容量为 n，则(0.1＋0.12)n＝11，解得 n＝50，故气 温不低于 25.5℃的城市个数为 50×0.18＝9.故填 9. 15．设样本数据 x1，x2，…，x2 018的方差是 5，若 yi＝3xi＋1(i＝ 1,2，…，2 018)，则 y1，y2，…，y2 018的方差是 45. 解析：根据题意，设 x1，x2，…，x2 018的平均数为 x ，y1，y2，…， y2 018的方差为 s2， 则 x ＝ 1 2 018 (x1＋x2＋…＋x2 018)，5＝ 1 2 018 [(x1－ x )2＋(x2－ x )2 ＋…＋(x2 018－ x )2]， 若 yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2 018)，则 y1，y2，…，y2 018的平均数 为 1 2 018 [(3x1＋1)＋(3x2＋2)＋…＋(3x2 018＋1)]＝3 x ＋1，则 y1，y2，…， y2 018的方差为 s2＝ 1 2 018 [(3x1－1－3 x ＋1)2＋(3x2－1－3 x ＋1)2＋… ＋(3x2 018－1－3 x ＋1)2]＝9× 1 2 018 [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(x2 018 － x )2]＝45. 16．某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下 表： 广告费用 x/万元 3 4 5 6 销售额 y/万元 25 30 40 45 根据上表可得回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 中的b ^ 为 7.据此模型预测广 告费用为 10万元时销售额为 73.5万元． 解析：由题表可知，x ＝4.5，y ＝35，代入回归方程y ^ ＝7x＋a ^ ， 得a ^ ＝3.5，所以回归方程为y ^ ＝7x＋3.5，所以当 x＝10时，y ^ ＝7×10 ＋3.5＝73.5(万元)． 三、解答题(本题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说 明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题 10分)工厂用传输带将产品送入包装车间，检验人员 从传输带上每隔 5 min 抽一件产品进行检验，这是一种什么抽样方 法？若已知甲、乙、丙三个车间一天内生产的产品分别是 150件、130 件、120件，为了掌握各车间产品质量情况，从中取出一个容量为 40 的样本，该用什么抽样方法？简述抽样过程． 解：这是将总体分成均匀的若干部分，再从每一部分按预先订出 的规则抽取一个个体，得到所需要的样本，故它是系统抽样． 因为总体来自三个不同车间，故适宜用分层抽样． 因为甲、乙、丙三个车间一天内生产产品数量之比为 15 13 12， 所以需从甲、乙、丙车间抽取产品分别为 15件、13件、12件． 具体抽样过程为：将甲车间的 150 件产品按 000,001，…，149 编号，将乙车间的 130 件产品按 000,001，…，129编号，将丙车间 的 120件产品按 000,001，…，119编号，用随机数法分别从甲、乙、 丙三个车间抽取 15件，13件，12件产品，这样就取得了一个容量为 40的样本． 18．(本小题 12分)在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个 班的参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如 图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、 第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是 40. (1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)求这两个班参赛的学生人数是多少？ 解：(1)第二小组的频率为 1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频 率分布直方图如图阴影部分所示．(2) 40 0.40 ＝100. 19．(本小题 12分)某城市 100户居民的月平均用电量(单位：度)， 以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)， [280,300]分组的频率分布直方图如图所示． (1)求直方图中 x的值． (2)求月平均用电量的众数和中位数． (3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11户居民，则月平均用电量 在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得 x＝0.007 5， 所以直方图中 x的值为 0.007 5. (2)月平均用电量的众数是 220＋240 2 ＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量 的中位数在 [220,240)内，设中位数为 a，则 (0.002＋ 0.009 5＋ 0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得 a＝224，即中位数为 224. (3)月平均用电量在 [220,240)的用户有 0.012 5×20×100＝ 25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的 用户分别有 15户、10户、5户，故抽取比例为 11 25＋15＋10＋5 ＝ 1 5 ， 所以从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25×1 5 ＝5(户)． 20．(本小题 12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛， A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为 20 mm的零件的 测试，他俩各加工的 10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位： mm)． 数据 平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 s2B 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些． (2)计算出 s 2B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些． (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过 10个的实 际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由． 解：(1)因为 A，B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零 件中完全符合要求的个数较多，由此认为 B同学的成绩好些． (2)因为 s2B＝ 1 10 ×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋ (20.2－20)2]＝0.008，且 s2A＝0.026，所以 s2A>s2B，在平均数相同的情况 下，B同学的波动小，所以 B同学的成绩好些． (3)从题图中折线走势可知，尽管 A同学的成绩前面起伏大，但 后来逐渐稳定，误差小，预测 A同学的潜力大，而 B同学前期稳定， 后面起伏变大，潜力小，所以选派 A同学去参赛较合适． 21．(本小题 12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定 价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回归方程ŷ＝b̂x＋â，其中b̂＝－20，â＝ y －b̂ x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且 该产品的成本是 4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应 定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解：(1) x ＝1 6 (x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝1 6 ×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋ 8.8＋9)＝8.5， y ＝1 6 (y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝1 6 ×(90＋84＋83＋80＋75＋68) ＝80， â＝ y －b̂ x ＝80－(－20)×8.5＝250，∴回归方程为ŷ＝－20x＋ 250. (2)设工厂获得的利润为 L元，依题意得：L＝x(－20x＋250)－4(－ 20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20 x－33 4 2＋361.25， 当且仅当 x＝33 4 ＝8.25时，L取得最大值，故当单价定为 8.25元 时，工厂可获得最大利润． 22．(本小题 12分)某工厂有工人 1 000名，其中 250名工人参加 过短期培训(称为 A类工人)，另外 750名工人参加过长期培训(称为 B 类工人)．现用分层抽样方法(按 A类，B类分二层)从该工厂的工人中 共抽查 100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零 件数)． (1)A类工人中和 B类工人中各抽查多少工人？ (2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果分别如下表 1和表 2. ①先确定 x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更 小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论) ②分别估计 A类工人和 B类工人生产能力的平均数，并估计该 工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表)． 解：(1)A类工人中和 B类工人中分别抽查 25名和 75名． (2)①由 4＋8＋x＋5＋3＝25，得 x＝5,6＋y＋36＋18＝75，得 y ＝15. 频率分布直方图如下： 从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小． ② x A＝ 4 25 ×105＋ 8 25 ×115＋ 5 25 ×125＋ 5 25 ×135＋ 3 25 ×145＝ 123， x B＝ 6 75 ×115＋15 75 ×125＋36 75 ×135＋18 75 ×145＝133.8， x ＝ 25 100 ×123＋ 75 100 ×133.8＝131.1. A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全 厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123,133.8和 131.1.