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- 2021-06-11 发布
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第七章 数列、推理与证明
第33课 数列的概念与简单表示法
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
数列的概念
√
1．数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N＋
递减数列
an＋10，即λ<时数列{an}为递增数列，又n∈N＋，∴λ<.
∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．]
5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an
＝__________.
【导学号：62172182】
2n－1 [法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.
法二：由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]
6．数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为____________．
6 [由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6.]
7．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)，则an＝____________.
【导学号：62172183】
3n [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n.]
8．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝____________.
2 [由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，
则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，
所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]
9．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________.
[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，
－＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，
所以an＝.]
10．(2017·南京模拟)对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N＋)，且bn＋1－bn＝1(n∈N＋)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝____________.
【导学号：62172184】
8 [由bn＋1－bn＝1(n∈N＋)可知，数列{bn}成等差数列，
又b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，
∴b3－b2＝1，
∴b2＝b3－1＝－3.
∴a3－a2＝－3，
∴a2＝3＋a3＝4.
∴b1＝b2－1＝－3－1＝－4.
∴a2－a1＝－4，
∴a1＝a2＋4＝4＋4＝8.]
二、解答题
11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
[解] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．
所以从第7项起各项都是正数．
12．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20＝____________.
[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝.]
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.
[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，
∴an＋1＝4an(n≥2)．
∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，
∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．
故an＝]
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N＋，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1an知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N＋，所以－<，即得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
4．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.
于是a1＝1，
a2＝a1，
a3＝a2，
……
an－1＝an－2，
an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，
整理得an＝.
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式an＝.
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