【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第11讲学案 18页

第11讲　函数的图象 考试要求　1.点的坐标与函数图象的关系(A级要求)；2.图象的平移、对称、伸缩变换及应用(B级要求)；3.函数图象的应用——研究函数的性质、求解方程解的个数、不等式的解等(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)‎ 解析　(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.‎ ‎(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错.‎ ‎(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(教材改编)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图四个图形：‎ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有________(填序号).‎ 解析　①中，因为在集合M中，当10，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.‎ 此知识点常用来解决两函数的对称问题.‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象.‎ y＝f(x)的图象y＝‎ Af(x)的图象.‎ ‎(4)翻转变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.‎ 重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称.‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.‎ 考点一　作函数的图象 ‎【例1】 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.‎ ‎(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.‎ 规律方法　画函数图象的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.‎ ‎(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别画出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.‎ 解　(1)∵y＝|lg x|＝ ‎∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.‎ ‎(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.‎ 考点二　函数图象的辨识 ‎【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷改编)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为________(填序号).‎ ‎(2)(2015·全国Ⅱ卷改编)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号).‎ 解析　(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，‎ 又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除①，②.‎ 设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.‎ 又g′(0)＜0，g′(2)＞0，‎ ‎∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，‎ ‎∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除③.‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除①，③.‎ 当x∈时，f ＝f ＝1＋，‎ f ＝2.∵2<1＋，‎ ‎∴f 0，∴a>1.‎ 则函数g(x)＝|ax－2|的图象是由函数y＝ax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，故填④.‎ 答案　(1)①d，②a，③b　(2)④‎ 考点三　函数图象的应用(多维探究)‎ 命题角度1　研究函数的性质 ‎【例3－1】 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________(填序号).‎ ‎①f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)；‎ ‎②f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)；‎ ‎③f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)；‎ ‎④f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0).‎ ‎(2)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是________.‎ 解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值是 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.‎ ‎(2)因为f(2x＋1)是偶函数，‎ 所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，‎ 所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.‎ 答案　(1)③　(2)x＝1‎ 命题角度2　解不等式 ‎【例3－2】 (1)(2018·如皋一模)已知函数f(x)＝则不等式f(x2－2)＋f(x)<0的解集为________.‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)>f(－x)－2x的解集是________.‎ 解析　(1)作出函数f(x)的图象如图所示，所以f(x)是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f(x2－2)＋f(x)<0⇔f(x2－2)－x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，].‎ 答案　(1)(－2，1)　(2)(－1，0)∪(1，]‎ 命题角度3　求参数的取值或范围 ‎【例3－3】 (2017·苏北四市摸底)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；‎ ‎②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是________.‎ 解析　依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称.‎ 可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，‎ 使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可.‎ 当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，‎ 又y＝ln x的导数为y′＝，‎ 则km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，‎ 可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，‎ 结合图象可知k∈(0，1)时两函数图象有两个交点.‎ 答案　(0，1)‎ 规律方法　(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.‎ ‎(2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.‎ ‎【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝________.‎ ‎(2)(2016·山东卷)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.‎ ‎(3)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.‎ 解析　(1)设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋‎ f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2.‎ ‎(2)‎ 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.‎ ‎(3)由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1‎ 作出函数y＝f(x)的图象.‎ 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.‎ 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个.‎ 答案　(1)2　(2)(3，＋∞)　(3)5‎ 一、必做题 ‎1.(2018·清江中 周练)直线x＝a和函数y＝x2＋x－1的图象公共点的个数为________.‎ 解析　根据函数的定义，对于定义域内的每一个x，都有唯一确定的y与之对应，故x＝a和y＝x2＋x－1的图象只有1个公共点.‎ 答案　1‎ ‎2.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ＝________.‎ 解析　由题意，f(3)＝1，∴f ＝f(1)＝2.‎ 答案　2‎ ‎3.(2018·扬州一检)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________.‎ 解析　把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.‎ 答案　y＝(x－1)2＋3‎ ‎4.已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为________(填序号).‎ 解析　当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条射线；当00，且x2＋x3＝2×＝1，‎ ‎∴x2x3<，令y＝2x2－x＝(x≤0)，得x＝，‎ ‎∴0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾.‎ 所以a>0，令f′(x)＝0，则x＝ln a.‎ 当xln a时，f′(x)>0，f(x ‎)是单调增函数.‎ 于是当x＝ln a时，f(x)取得极小值.‎ 因为函数f(x)＝ex－ax＋a(a∈R)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1e2.‎ 此时存在10；‎ 存在3ln a>ln a，f(3ln a)＝a3－3aln a＋a>a3－3a2＋a>0.‎ 又由f(x)在(－∞，ln a)及(ln a，＋∞)上的单调性及曲线在R上不间断，可知a的取值范围是(e2，＋∞).‎ ‎(2)证明　因为 两式相减得a＝.‎ 记＝s(s>0)，则f′＝e－＝[2s－(es－e－s)].‎ 设g(s)＝2s－(es－e－s)，则g′(s)＝2－(es＋e－s)≤0，所以g(s)是单调减函数.则有g(s)0，所以f′<0.‎ 又f″(x)＝ex，则f′(x)是单调增函数，且>，所以f′()<0.‎ ‎(3)解　依题意有exi－axi＋a＝0，则a(xi－1)＝exi>0，所以xi>1(i＝1，2).‎ 于是e＝a.‎ 在等腰直角三角形ABC中，显然C＝90°.‎ 所以x0＝∈(x1，x2)，即y0＝f(x0)<0.‎ 由直角三角形斜边的中线性质，可知＝－y0，‎ 所以y0＋＝0，即e－(x1＋x2)＋a＋＝0，‎ 所以a－(x1＋x2)＋a＋＝0，‎ 即a－[(x1－1)＋(x2－1)]＋＝0.‎ 因为x1－1≠0，所以a－＋＝0.‎ 又＝t，所以at－(1＋t2)＋(t2－1)＝0，‎ 即a＝1＋，所以(a－1)(t－1)＝2.‎