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- 2021-06-11 发布
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2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)
数学I
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知i为虚数单位,复数,则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用AB中有且只有一个元素,可得,可求实数a的值.
【详解】由题意AB中有且只有一个元素,所以,即.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算,集合交集的运算本质是存同去异,侧重考查数学运算的核心素养.
3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_______.
【答案】0.08
【解析】
- 23 -
【分析】
先求解这组数据的平均数,然后利用方差的公式可得结果.
【详解】首先求得,
.
故答案为:0.08.
【点睛】本题主要考查数据的方差,明确方差的计算公式是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.
【答案】3
【解析】
【分析】
双曲线的焦点在轴上,渐近线为,结合渐近线方程为可求.
【详解】因为双曲线(a>0)的渐近线为,且一条渐近线方程为,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线,明确双曲线的焦点位置,写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
5.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_____.
【答案】
【解析】
乙不输的概率为,填.
- 23 -
6.下图是一个算法的流程图,则输出的x的值为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
利用流程图,逐次进行运算,直到退出循环,得到输出值.
【详解】第一次:x=4,y=16,
第二次:x=5,y=32,
第三次:x=6,y=64,此时64>10×6+3,输出x,故输出x的值为6.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查程序框图的识别,“还原现场”是求解这类问题的良方,侧重考查逻辑推理的核心素养.
7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的_______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
先求解直线l1与直线l2平行的等价条件,然后进行判断.
- 23 -
【详解】“直线l1:与直线l2:平行”等价于a=±2,
故“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定,把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.
8.已知等差数列的前n项和为,,,则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出公差,结合等差数列的通项公式可求.
【详解】设公差为,因为,所以,即.
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解,利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法,侧重考查数学运算的核心素养.
9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求导数可得切线斜率,利用基本不等式可得切点横坐标,从而可得切线方程.
【详解】,
,=1时有最小值1,此时M(1,﹣2),
故切线方程为:,即.
- 23 -
故答案为:.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义,切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
10.已知,(,),则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得,平方可得.
【详解】∵,∴,
则,平方可得.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换,倍角公式的合理选择是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
11.如图,在矩形中,为边中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为 .
【答案】
- 23 -
【解析】
由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为
.
考点:旋转体的组合体.
12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.
【答案】3
【解析】
【分析】
把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数值.
【详解】
,解得=3.
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.
13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是_______.
【答案】(1,)
【解析】
【分析】
在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2],等价转化为与的图像在(1,)上恰有两个交点,考虑相切状态可求a的取值范围.
【详解】由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点
- 23 -
考查临界情形:与切于,
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义,把已知条件进行等价转化是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.
14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据点共线得到,从而得到O的轨迹为阿氏圆,结合三角形和三角形的面积关系可求.
【详解】设
B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故.
在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿氏圆,其半径,
故.
故答案为:.
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【点睛】本题主要考查三角形的面积问题,把所求面积进行转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA﹣asinB=0.
(1)求A;
(2)已知a=2,B=,求△ABC的面积.
【答案】(1) ; (2).
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=0,结合sinB>0,可求tanA=,结合范围A∈(0,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根据三角形的面积公式即可计算得解.
【详解】(1)∵bcosA﹣asinB=0.
∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=0,
∵sinB>0,
∴cosA=sinA,
∴tanA=,
∵A∈(0,π),
∴A=;
(2)∵a=2,B=,A=,
∴C=,根据正弦定理得到
∴b=6,
∴S△ABC=ab==6.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
- 23 -
16.如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD;
(2)证明:BE⊥PC.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)连结AC交BD于点O,连结OE,利用三角形中位线可得AP∥OE,从而可证AP∥平面EBD;
(2)先证明BD⊥平面PCD,再证明PC⊥平面BDE,从而可证BE⊥PC.
【详解】证明:(1)连结AC交BD于点O,连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
∴O为AC中点,
又E为PC中点,
故AP∥OE,
又AP平面EBD,OE平面EBD
所以AP∥平面EBD ;
(2)∵△PCD为正三角形,E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD平面ABCD=CD,
又BD平面ABCD,BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC平面PCD,故PC⊥BD
- 23 -
又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE平面BDE,
所以BE⊥PC.
【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,线面平行一般转化为线线平行来证明,直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明,侧重考查逻辑推理的核心素养.
17.某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
【答案】(1)见解析,,x[0,1];(2)P(,)时,视角∠EPF最大.
【解析】
【分析】
(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系,设出方程,通过点的坐标可求方程;
(2)设出的坐标,表示出,利用基本不等式求解的最大值,从而可得观测点P的坐标.
【详解】(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系
- 23 -
由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为
代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1];
(2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ=
,,
令,,则:
,
当且仅当即,即,即时取等号;
故P(,)时视角∠EPF最大,
答:P(,)时,视角∠EPF最大.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的实际应用,理解题意,构建合适的模型是求解的关键,涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).
- 23 -
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.
【答案】(1)(2).
【解析】
【分析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.
(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.
【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<
①,
,
,②;③;
由①②得:,,
- 23 -
代入③得:,又,故,
因此,直线l的方程为.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
19.已知函数(mR)的导函数为.
(1)若函数存在极值,求m的取值范围;
(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.
【答案】(1)(2){1,2}.
【解析】
【分析】
(1)求解导数,表示出,再利用的导数可求m的取值范围;
(2)表示出,结合二次函数知识求出的最小值,再结合导数及基本不等式求出的最值,从而可求正整数k的取值集合.
【详解】(1)因为,所以,
所以,
则,
由题意可知,解得;
(2)由(1)可知,,
所以
- 23 -
因为
整理得,
设,则,所以单调递增,
又因为,
所以存在,使得,
设,是关于开口向上的二次函数,
则,
设,则,令,则,
所以单调递增,因为,
所以存在,使得,即,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
因为,所以,
又由题意可知,所以,
解得,所以正整数k的取值集合为{1,2}.
【点睛】本题主要考查导数的应用,利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题,恒成立问题要逐步消去参数,转化为最值问题求解,适当构造函数是转化的关键,本题综合性较强,难度较大,侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
- 23 -
20.已知数列,,数列满足,n.
(1)若,,求数列的前2n项和;
(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.
①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;
②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.
【答案】(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析
【解析】
【分析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;
(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;
②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.
【详解】(1)因为,,所以,且,
由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
数列是首项和公比均为4的等比数列,
所以;
(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,
当n为奇数时,,
- 23 -
若,则当时,,
即,与题意不符,所以,
当n为偶数时,,,
若,则当时,,
即,与题意不符,所以,
综上,,原命题得证;
②假设可以为等比数列,设公比为q,
因为,所以,所以,,
因为当时,
,
所以当n为偶数,且时,,
即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,
所以数列不能为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
第II卷(附加题,共40分)
【选做题】本题包括三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
选修4—2:矩阵与变换
21.已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
- 23 -
【答案】特征值为1,特征向量为.
【解析】
【分析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M,然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】设矩阵M=,则AM=,
所以,解得,所以M=,
则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,
设特征值的特征向量为,则,
即,解得x=0,所以属于特征值的的一个特征向量为.
【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解,矩阵运算的关键是明确其运算规则,侧重考查数学运算的核心素养.
选修4—4:坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinq.
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.
【答案】(1)(2)(2,).
【解析】
【分析】
- 23 -
(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.
(2)先把两个方程均化为普通方程,求解公共点的直角坐标,然后化为极坐标即可.
【详解】(1)∵曲线C的极坐标方程为,
∴,则,
即.
(2),
∴,
联立可得,
(舍)或,
公共点(,3),化为极坐标(2,).
【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解,熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键,交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化,侧重考查数学运算的核心素养.
选修4—5:不等式选讲
23.已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且的最小值为,求实数t的值.
【答案】t=4
【解析】
分析】
把变形为结合基本不等式进行求解.
【详解】因为
- 23 -
即,当且仅当,,时,上述等号成立,
所以,即,又x,y,z>0,所以x+y+z=t=4.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式,同时要关注不等号是否成立,侧重考查数学运算的核心素养.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
24.某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推).抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.
(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.
【答案】(1)分布见解析,期望为;(2).
【解析】
【分析】
(1)先明确X的可能取值,分别求解其概率,然后写出分布列,利用期望公式可求期望;
(2)获得的奖金恰好为60元,可能是三次二等奖,也可能是一次一等奖,两次三等奖,然后分别求解概率即可.
【详解】(1)由题意知,随机变量X的可能取值为10,20,40
且,,
- 23 -
所以,
即随机变量X的概率分布为
X
10
20
40
P
所以随机变量X的数学期望.
(2)由题意知,赵四有三次抽奖机会,设恰好获得60元为事件A,
因为60=20×3=40+10+10,
所以.
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列及数学期望,明确随机变量的所有取值是求解的第一步,再求解对应的概率,侧重考查数学建模的核心素养.
25.已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.
- 23 -
【解析】
【分析】
(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;
(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.
【详解】(1)设,则,
抛物线C的方程可化为,则,
所以曲线C在点A处的切线方程为,
在点B处的切线方程为,
因为两切线均过点G,所以,
所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,
又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;
(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,
即,
将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,
所以,,解得,
因为直线AB的斜率,所以,
且,
- 23 -
线段AB的中点为M,
所以直线EM方程为:,
所以E点坐标(0,),
直线AB的方程整理得,
则G到AB的距离,
则E到AB的距离,
所以,
设,因为p是质数,且为整数,所以或,
当时,,是无理数,不符题意,
当时,,
因为当时,,即是无理数,所以不符题意,
当时,是无理数,不符题意,
综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线中的切线问题通常借助导数来求解,四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题,表示出面积的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
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