江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学试题含附加题 19页

·1· 苏锡常镇四市 2020 届高三教学情况调研（一） 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上。 1.已知 i 为虚数单位，复数 1 1z i   ，则｜z｜ 2.已知集合 Ax｜0x1，Bx｜a1x3，若 AB 中有且只有一个元素，则实数 a 的 值为 3.已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2 2 1( 0)4 x y aa    的一条渐近线 方程为 2 3y x ，则 a 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则乙不输的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的 x 的值为 7.“直线 l1:axy10 与直线 l2:4xay30 平行”是“a2”的 条件.（填“充分不必 要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a19， 9 5 9 5 S S ＝－4，则 an ·2· 9.已知点 M 是曲线 y2lnxx23x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时，该切线 的方程为 10.已知 3cos2α＝4sin( 4  －α)，α( ,4   )，则 sin2= 11.如图在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，AB1，BC2.分别以 A，D 为圆心，1 为半径作 圆弧 EB，EC，将两圆弧 EB，EC 及边 BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线 AD 旋转一 周，所形成的几何体的体积为 12.在ABC 中， ，若角 A 的最大值为 6  ，则实数的值是 13.若函数 f(x)ax(a0 且 a1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1mn)，则 a 的取值范围 是 14.如图，在ABC 中，AB4，D 是 AB 的中点，E 在边 AC 上，AE2EC，CD 与 BE 交于点 O，若 OB 2 OC，则ABC 面积的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，且满足 bcosA 3 asinB0 （1）求 A； ·3· （2）已知 a2 3 ，B 3  ，求ABC 的面积. 16.（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BDBC，PCD 为正三角形，平 面 PCD平面 ABCD，E 为 PC 的中点. （1）证明：AP∥平面 EBD； （2）证明：BEPC. 17.（本小题满分 14 分） 某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道 l1 和 l2 通过一段抛物线形状的栈道 AB 连通（道路不计宽度），l1 和 l2 所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 l3 平行于观光道 且与 l2 相距 1.5（百米）（其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，且交 l3 于 M），在 堤岸线 l3 上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1（百米），且 F 恰在 B 的正对 岸（即 BFl3）. （1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角（EPF）最大？请在（1）的坐 ·4· 标系中，写出观测点 P 的坐标. 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 1 2 ， 且经过点（1， 3 2 ），A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D， E 两点（其中 D 在 x 轴上方）. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若AEF 与BDF 的面积比为 1:7，求直线 l 的方程. 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 f(x) 2 3 x3mx2m2x（mR）的导函数 '( )f x ·5· （1）若函数 g(x)f(x) '( )f x 存在极值，求 m 的取值范围； （2）设函数 h(x) '( ) '(ln )xf e f x f(lnx)（其中 e 为自然对数的底数），对任意 mR，若关于 x 的不等式 h(x)m2k2 在（0，＋）上恒成立，求正整数 k 的取值集合. 20.（本小题满分 16 分） 已知数列an，bn，数列cn满足 （1）若 ann，bn2n，求数列cn的前 2n 项和 T2n； （2）若数列an为等差数列，且对任意 nN*，cn1cn 恒成立. ①当数列bn为等差数列，求证：数列an，bn的公差相等； ②数列bn能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列bn；若不能，请说明理由. 2019 年~2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学Ⅱ（附加题） A.选修 4-2；矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 ，且二阶矩阵 M 满足 AMB，求 M 的特征值及属于各特征 值的一个特征向量。 B.选修 4-4；坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 l 的参数方程为 ，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4sin。 （1）求曲线 C 的普通方程； （2）求曲线 l 和曲线 C 的公共点的极坐标。 ·6· C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知正数 x，y，z 满足 xyzt（t 为常数），且 2 2 2 4 9 x y z  的最小值为 8 7 ，求实数 t 的值。 22.（本小题满分 10 分） 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可以抽奖一次， 满 400 元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为 1， 2，3，4，5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的 小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如 1，2，5），则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一次小（如 5，3，1），则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获 得三等奖，奖金 10 元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额 X 的概率分布和数学期望; （2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为 60 元的概 率. 23.（本小题满分 10 分） 已知抛物线 C:x24py（p 为大于 2 的质数）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 k(k0)的直线交 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 E，抛物线 C 在点 A，B 处的切线相交于点 G. 记四边形 AEBG 的面积为 S. （1）求点 G 的轨迹方程； （2）当点 G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的 S 的值；若不是， 请说明理由. ·7· 参考答案 12、3 13、 14、 15、 ·8· 16、 ·9· 17、 ·10· ·11· ·12· ·13· ·14· ·15· ·16· ·17· ·18· ·19·