【数学】2019届一轮复习北师大版数列与数学归纳法学案 18页

专题1. 5 数列与数 归纳法 ‎1.已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征 （1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数 归纳法进行证明.‎ 2. 由递推关系求数列通项公式时的常用方法有 ‎ ‎（1）已知，且，可用“累加法”求；‎ （2） 已知，且，可用“累乘法”求；‎ （3） 已知，且，则，（其中可由待定系数法确定），可转化为数列成等比数列求；‎ ‎（4）形如为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出时，公式是否成立.‎ ‎3.与关系的应用问题 ‎ ‎（1）由与前项和关系求时 ，当时，若适合（），，则时的情况可并入时的通项；否则用分段函数的形式表示. | | |X|X| ]‎ ‎(2)由与前项和关系求，通常利用（）将已知关系式转化为与的关系式，然后求解.‎ ‎4.判定一个数列是等差数列的方法 ‎ ‎（1）用定义法（当时，为同一常数）；‎ ‎（2）等差中项法（）；‎ ‎（3）为常数）；‎ ‎（4）为常数）.‎ ‎5.解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差与首项 表示，列出方程进行求解.[ ]‎ ‎6.求等差数列前项和的最值的常用方法 ‎ ‎（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；‎ ‎（2）用通项公式求最值 求使成立时的最大值即可.‎ ‎7. 判定一个数列是等比数列的方法 ‎ ‎（1）定义法（为同一常数）；‎ ‎（2）等比中项法（）.‎ ‎8.解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比与首项 表示，列出方程进行求解.‎ ‎9．数列求和常用方法有 ‎ ‎（1）公式法 直接利用等差、等比数列的前项和公式求和(等比数列求和需考虑与)；‎ ‎（2）倒序相加法 若一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；‎ ‎（3）裂项相消法 把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；‎ ‎（4）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；[ | | |X|X| ]‎ ‎（5）分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ‎ ‎10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、数 归纳法等.‎ ‎11.明确数 归纳法证明命题的步骤 ‎(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．‎ ‎(2)假设n＝ ( ≥n0， ∈N*)时命题成立，证明当n＝ ＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．‎ 完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ ‎【说明】数 归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．‎ ‎1.【 湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考】我国古代数 著作《九章算术》有如下问题 “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？” 意思是 “现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ）‎ A. 15斤 B. 14斤 C. 13斤 D. 12斤 ‎【答案】A ‎【要点回扣】1.数 文化；2.等差数列的求和. 8 ‎ ‎2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9>0，S10<0，则， ，…， 中最大的是 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 则当n≤5时，数列是递增的正数项数列，其最大项为；当n>6时，各项均为负数．∴数列中最大．选B．‎ ‎【要点回扣】等差数列通项公式、求和公式.‎ ‎3. 数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2018＝ (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【要点回扣】数列的递推式、周期数列.[ ]‎ ‎4.【 云南省保山市第二次统测】已知等差数列的前项和为， ， ，则取最大值时的为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由为等差数列，所以，即，‎ 由，所以，‎ 令，即，‎ 所以取最大值时的为，‎ 故选B．‎ ‎【要点回扣】等差数列的前n项和.‎ ‎5.已知等差数列的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（ ）[ ]‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，∴，，，，时，最小.选A.‎ ‎【要点回扣】等差数列、等比数列综合，数列最值.‎ ‎6. 设数列满足，且对任意的，满足， ,则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【要点回扣】等比数列的综合应用.‎ ‎7. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵成等比数列，‎ ‎∴，即，[ 。 。 。X。X。 ]‎ 解得。‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴当时， ；当时， 。‎ ‎∴数列的前项和的最小值是。‎ 答案 ， .‎ ‎【要点回扣】等差数列、等比数列综合，数列最值.‎ ‎8.【 北京市东城汇文中 高三上期中】 数列满足， ， ，‎ 则（）__________．（）此数列最多有__________项．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【要点回扣】数列的通项、等差数列.‎ ‎9.小明为了观看年的冬奥会，他打算从起，每年的月日到银行存入元的一年期定期储蓄，若年利率为，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期． 年月日小明去银行继续存款元后，他的账户中一共有__________元；到年的月日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回__________元．（化简后结果）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】依题意， 年月日存款元后，账户中一共有元；‎ 银行利息为单利计息，故年月日可取出钱的总数为 ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【要点回扣】1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式. 8 ‎ ‎10.【 北京西城31中高三上期中】数列中，，（是常数，，，，），且，，成公比不为的等比数列，则__________，的通项公式__________．‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【要点回扣】数列的递推公式、等比数列.‎ ‎11.【 北京市朝阳区高三第一 期期末】已知数列满足（），， ().设，则________;________.（用含的式子表示）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由可得，两式相加可得，即， ，所以数列是周期为 的周期数列， ；由可得，所以，故答案为 ， .‎ ‎【要点回扣】1.数列的递推式；2.周期数列.‎ ‎12. 【 北京市大兴区高三上期第一次练习】已知数列满足， ， 表示不超过的最大整数（如），‎ 记，数列的前项和为.‎ ‎①若数列是公差为的等差数列，则=_____；‎ ‎②若数列是公比为的等比数列，则=_____．‎ ‎【答案】 6 ‎ ‎②若数列是公比为的等比数列，且， ，则 ‎，则，‎ ‎ ‎ ‎；故填.‎ ‎【要点回扣】等差数列、等比数列、组合数的性质.‎ ‎13．【 北京市西城区156中 高三上 期期中】已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若．‎ ‎（）求证 数列是等比数列．‎ ‎（）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（1）由题意可求得，故，根据等比数列的定义进行证明即可．（2）由（1）可得，然后根据分组求和法并利用等差、等比数列的求和公式求解．‎ 试题解析 ‎ ‎（）解 由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ ‎【要点回扣】等差数列、等比数列及其求和.‎ ‎14．【 北京市人大附中高三第二次模拟】已知数列中，，其前项和为，满足．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和，并证明．‎ ‎【答案】（1）（2），见解析 ‎【解析】【试题分析】(1)利用 求得数列的通项公式.(2)利用(1)求得的表达式,化简,求得.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（2）证明 因为， ‎ 所以 ，·· ‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以．‎ ‎【要点回扣】1. 与的关系；2.等比数列；3.裂项相消法. 0 ‎ ‎15.数列的前项和为，若， 和满足等式.‎ ‎（I）求的值.‎ ‎（II）求证 数列是等差数列.‎ ‎（III）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)8；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .‎ ‎【解析】试题分析 （1）利用赋值法即可得到的值.；(2)由题意易得 ，从而得到数列是等差数列； (3)利用错位相减法求和即可.‎ ‎（II）解 由（I）可得，‎ 化为，‎ 当时， ．‎ 又也满足．‎ ‎∴数列的通项公式为，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 两式相减，整理可得 ‎【要点回扣】(1)与的关系；2.等差数列、等比数列的通项公式；3.错位相减法求和.[ ]‎ ‎17．【 浙江省绍兴市高三3月适应性模拟】已知数列满足 ， . （其中为自然对数的底数，）‎ ‎（Ⅰ）证明 ；‎ ‎（Ⅱ）设，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.[ ]‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 不存在满足条件的实数 ‎（Ⅱ）先用数 归纳法证明.‎ ‎①当时，.②假设当时，不等式成立，那么当时， ，也成立.故对都有.‎ 所以.‎ 取，‎ ‎ .‎ 即 .‎ 所以，对任意实数，取，且，，‎ 则.‎ 故，不存在满足条件的实数.‎ ‎【要点回扣】1.导数的应用；2.数归纳法；3.数列与不等式.‎ ‎18.【2018届浙江省诸暨市高三上 期期末】已知各项非负的数列满足 ，.‎ ‎（1）求证 ；‎ ‎（2）记，求证 .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 试题解析 （1）法一 用数 归纳法证明 ‎ 当时，，结论成立 假设时结论成立，则当时 ‎，综上 法二 ‎ 同号，又，所以 ‎ 又，所以 所以 ‎ 当为奇数时，‎ ‎ ‎ 要证 只需，即 ‎ 此结论显然成立，所以 当为偶数时，结论显然成立，所以成立 ‎【要点回扣】1、数列的通项、数列的求和；2、数 归纳法. 7 ‎ ‎19. 已知数列中，满足记为前n项和．‎ ‎（I）证明 ；‎ ‎（Ⅱ）证明 ‎ ‎（Ⅲ）证明 .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ 试题解析 证明 （I）因 ‎ 故只需要证明即可 ……………………………………………………3分 下用数 归纳法证明 ‎ 当时， 成立 假设时， 成立，‎ 那么当时， ，‎ 所以综上所述，对任意， …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）用数 归纳法证明 当时， 成立 假设时， ‎ 那么当时， ‎ 所以综上所述，对任意， …………………………10分 ‎（Ⅲ）得 …12分 故 ……15分 ‎【要点回扣】1、数列的通项、数列的求和；2、数 归纳法.‎ ‎20．已知每一项都是正数的数列满足， ．‎ ‎（1）用数 归纳法证明 ；‎ ‎（2）证明 ；‎ ‎（3）记为数列的前项和，证明 ．‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.‎ 比数列求和公式得.‎ 试题解析 （1）由题知， ， ‎ ‎①当时， ， ，‎ ‎， 成立；‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以，‎ 同理由数 归纳法可证，‎ ‎.‎ 猜测 ，下证这个结论.‎ 因为，‎ 所以与异号.注意到，知， ，‎ 即.‎ 所以有，‎ 从而可知.‎ ‎（3） ‎ 所以 ‎ 所以 ‎【要点回扣】1、数列的通项、数列的求和；2、数 归纳法. ` 4 ‎