【数学】2019届一轮复习北师大版　函数及其表示学案 10页

第二章　函数、导数及其应用 第4讲　函数及其表示 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．‎ ‎2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．‎ ‎3．了解简单的分段函数，并能简单应用.‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，3‎ ‎2017·山东卷，9‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，10‎ ‎2016·江苏卷，5‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，10‎ ‎1.对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题．‎ ‎2．考查函数的值域及最值．‎ ‎3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．‎ ‎4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强.‎ 分值：5分 ‎1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__.‎ ‎2．函数的表示方法 ‎(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__.‎ ‎(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__.‎ ‎(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__.‎ ‎3．函数的三要素 ‎(1)函数的三要素：__定义域__、对应关系、值域．‎ ‎(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．‎ ‎4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．‎ ‎5．映射的概念 一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有__唯一确定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．‎ ‎6．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数是从其定义域到值域的映射．(　√　)‎ ‎(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．(　×　)‎ ‎(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一函数．(　√　)‎ ‎(4)f(x)＝＋是一个函数．(　×　)‎ ‎(5)A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝，其对应是从A到B的映射．(　×　)‎ 解析　(1)正确．函数是特殊的映射．‎ ‎(2)错误．如函数y＝x与y＝x＋1的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，不是相等函数．‎ ‎(3)正确．函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域和对应关系相同．‎ ‎(4)错误．因为定义域为空集. ‎ ‎(5)错误．当x＝－1时，y值不存在，所以对应不是从A到B的映射．‎ ‎2．已知数集A＝{1,2,3,4}，设f：x→y，g：x→y都是由A到A的映射，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2))相同的是(　B　)‎ 表1　映射f的对应关系 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ 表2　映射g的对应关系 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ A．g(f(1))　　　 B．g(f(2))‎ C．g(f(3))　　　 D．g(f(4))‎ 解析　f(g(2))＝f(3)＝2，g(f(2))＝g(4)＝2.故选B．‎ ‎3．(2018·齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是(　D　)‎ A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝，g(x)＝x－2‎ C．f(x)＝，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝ 解析　A，B，C项的解析式相同，但定义域不同，只有D项正确．‎ ‎4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝__10__.‎ 解析　因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.‎ ‎5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为__(－∞，2]__.‎ 解析　因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]．‎ 一　求函数定义域 ‎(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．‎ ‎(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：‎ ‎①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；‎ ‎②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)＝lg(3x＋1)的定义域是(　B　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为__[0,1)__.‎ 解析　(1)要使函数有意义，需满足 解得－1，‎ f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝‎2a.‎ ‎∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)．‎ ‎∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.‎ 当a>1时，a＋1>2，‎ ‎∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，‎ ‎∴2(a－1)＝2a，无解．‎ 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．‎ 综上，f＝6.故选C．‎ ‎(2)由题意得或 解得f(a)≥－2.‎ 由或解得a≤.‎ ‎1．函数f(x)＝的定义域为(　A　)‎ A．(－1,0)∪(0,2)‎ B．(－1,0)∪(0，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ D．(－1,2)‎ 解析　⇒x∈(－1,0)∪(0,2)．故选A．‎ ‎2．(2018·内蒙古巴彦卓尔一中期中)已知函数f(x)＝则f＝(　D　)‎ A．4　　　 B．－ C．－4　　　 D． 解析　f＝log3＝－2，f(－2)＝2－2＝，所以f＝.故选D．‎ ‎3．(2018·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x2＋2x＋3，则f(x)的解析式是 (　B　)‎ A．f(x)＝x2－2　　　 B．f(x)＝x2＋2‎ C．f(x)＝x2－2x　　　 D．f(x)＝x2＋2x 解析　∵f(x＋1)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2.故选B．‎ ‎4．若f(x)＝则f(x)的最小值是__－1__.‎ 解析　当x≤0时，f(x)＝－x，此时f(x)min＝0；当x>0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，此时f(x)min＝－1.综上，当x∈R时，f(x)min＝－1.‎ 错因分析：对定义域和值域的概念没有理解透彻，因而解决问题时易出错．‎ ‎【例1】 已知函数f(x)＝log2的定义域为R，求实数a的取值范围．‎ 解析　f(x)的定义域为R，即对一切实数x，t＝ax2＋(a－1)x＋的值恒大于0.‎ ‎①a＝0时，t＝－x＋的值不恒大于0；‎ ‎②a≠0时，必有即 解得3，则a的取值范围是__(9，＋∞)__.‎ 解析　由已知得或解得a>9.‎ ‎9．(2018·四川成都外国语学校期中)若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝的定义域是__(1,2)∪__.‎ 解析　∵y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，∴－1≤x＋1≤4，∴f(x)的定义域是[－1,4]，令－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，又因为所以1