【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第六节直接证明与间接证明教案 9页

第六节　直接证明与间接证明 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；‎ ‎2.了解反证法的思考过程和特点。‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，18,6分(直接证明)‎ ‎2015，江苏卷，23,10分(反证法)‎ ‎2014，山东卷，4,5分(反证法)‎ 直接证明与间接证明常以函数、不等式、数列、解析几何等为背景考查，题型以解答题为主。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →→‎ ‎…→　　　　‎ →→‎ ‎…→ 文字 语言 因为…所以…‎ 或由…得…‎ 要证…只需证…即证…‎ ‎2.间接证明 反证法：假设命题不成立 ‎(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。‎ 微点提醒 ‎1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件。‎ ‎2．综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法。‎ ‎3．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P>Q B．P＝Q C．PQ，只需P2>Q2，即‎2a＋13＋2>‎2a＋13＋2，只需a2＋‎13a＋42>a2＋‎13a＋40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(选修2－2P90例5改编)用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 ‎【解析】　“a，b至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　　)‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是(　　)‎ A．a>b>0 B．ab D．a≥0，b≥0，且a≠b ‎【解析】　∵(a＋b)－(a＋b)＝(a－b)(－)>0，∴a≥0，b≥0，且a≠b。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎【解析】　因为＋＋ ‎＝＋＋≥6，‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，‎ 所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°。‎ 正确顺序的序号排列为________。‎ ‎【解析】　由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②。故填③①②。‎ ‎【答案】　③①②‎ ‎5．命题“a，b是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－‎1”‎，用反证法证明时应假设________。‎ ‎【解析】　a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1，或b≠－1。故填a≠－1，或b≠－1。‎ ‎【答案】　a≠－1，或b≠－1‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 分析法 ‎【典例1】　已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥‎ f。‎ ‎【证明】　要证明≥f，即证明 ≥3－2·，‎ 因此只要证明 －(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，‎ 即证明≥3，‎ 因此只要证明≥，‎ 由于x1，x2∈R，所以3x1＞0,3x2＞0，‎ 由基本不等式知≥显然成立，故原结论成立。‎ 反思归纳　分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。‎ ‎【变式训练】　已知a>0，求证： －≥a＋－2。‎ ‎【证明】　要证 －≥a＋－2，‎ 只要证 ＋2≥a＋＋。‎ ‎∵a>0，‎ 故只要证2≥2，‎ 即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，‎ 从而只要证2 ≥，‎ 只要证4≥2，即a2＋≥2，‎ 而上述不等式显然成立，故原不等式成立。‎ 考点二 ‎ 综合法 ‎【典例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1。‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎(2)若C＝，求证：‎5a＝3b。‎ ‎【证明】　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，‎ 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列。‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝，即‎5a＝3b。‎ 反思归纳　综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。‎ ‎【变式训练】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)证明：f(x)≤g(x)。‎ ‎【解析】　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，‎ 由题意得解得a＝0，b＝1。‎ ‎(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)‎ ‎＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)。‎ h′(x)＝－x2＋x－1＝。‎ h(x)在(－1,0)上为增函数，‎ 在(0，＋∞)上为减函数。‎ h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，‎ 即f(x)≤g(x)。‎ ‎【答案】　(1)a＝0，b＝1　(2)见解析 考点三 ‎ 反证法 ‎【典例3】　设{an}是公比为q的等比数列。‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列。‎ ‎【解析】　(1)分两种情况讨论。‎ ‎①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1。‎ ‎②当q≠1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an⇒qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan。‎ 上面两式错位相减：‎ ‎(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan ‎⇒Sn＝＝。‎ 综上，Sn＝ ‎(2)使用反证法：‎ 设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列，则(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(a1q＋1)2＝(a1＋1)(a1q2＋1)，整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均与题设矛盾，故数列{an＋1}不是等比数列。‎ ‎【答案】　(1)Sn＝ ‎(2)见解析 反思归纳　(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证。‎ ‎(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。‎ ‎【变式训练】　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3。‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。‎ ‎【解析】　(1)由已知得 ‎∴d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)。‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋。‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p、q、r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr。‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)。‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0。‎ ‎∵p，q，r∈N*，∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r。‎ 与p≠r矛盾。‎ 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。‎ ‎【答案】　(1)an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)‎ ‎(2)见解析 微考场　新提升 ‎1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的(　　)‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件 答案　A ‎2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)‎ A.> B.＋≤1‎ C.≥2 D.≤ 解析　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16。∴a2＋b2≥8，‎ ‎∴≤。‎ 答案　D ‎3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 答案　B ‎4．已知a，b，c为互不相等的非负数。‎ 求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)。‎ 证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥‎2ac，‎ 又∵a，b，c为互不相等的非负数，‎ ‎∴上面三个式子中都不能取“＝”。‎ ‎∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac。‎ ‎∵ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，‎ ab＋ac≥2，‎ 又a，b，c为互不相等的非负数，‎ ‎∴ab＋bc＋ac>(＋＋)。‎ ‎∴a2＋b2＋c2>(＋＋)。‎ ‎5．设数列{an}满足a1＝0且－＝1。‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，记Sn＝bk，证明：Sn<1。‎ 解析　(1)由题设－＝1，‎ 得是公差为1的等差数列。‎ 又＝1，故＝n。所以an＝1－。‎ ‎(2)证明：由(1)得 bn＝＝＝－，‎ ‎∴Sn＝bk＝＝1－<1。‎ 答案　(1)an＝1－　(2)见解析