高中数学必修2教案：4_1_1圆的标准方程 (3) 8页

4. 1.1　圆的标准方程 【教学目标】 １．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的 标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题． ２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问 题的能力． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服 务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 【教 学重难点】 教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 2：图 2-9 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了 圆的什么特点？ 圆心 C 是定点，圆周上的点 M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径 分别确定了圆的位置和大小． （二）检查预习、交流展示 求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点 M 的坐标，简称建系设点；图 2-9 (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程 f(x，y)=0 为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． （三）合作探究、精讲精练 探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两 种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为 C 是定 点，可设 C(a，b)、半径 r，且设圆上任一点 M 坐标为(x，y)． 2．写点集 根据定义，圆就是集合 P={M||MC|=r}． 3．列方程 由两点间的距离公式得： 4．化简方程 将上式两边平方得： (x-a) +(y-b) =r 　　　　　　　　(1) 方程(1)就是圆心是 C(a，b)、半径是 r 的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有 xy 项，括号内变数 x，y 的系数都是 1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即 C(0，0)时，方程为 x +y =r ． 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a，b， r 三个量确定了且 r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立 的条件．注意，确定 a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 例 1　 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板) (1)圆心在原点，半径是 3； (3)经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； 解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出 圆的标准方程． 解：(1)x +y =9；(2)(x-3) +(y-4) =5； 点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握． 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(x-3) +(y-2) =5；　　　(2)(x+4) +(y+3) =7；　　　(3)(x+2) + y =4 答案：(1) 圆心是(3,2),半径是 ；(2) 圆心是(－４,－３),半径是 ；(3) 圆心 是(－２,０),半径是２． 例２　 (1)已知两点 P (4，9)和 P2(6，3)，求以 P P 为直径的圆的方程；(2)试判断 点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析 二： 从图形上动点 P 性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决． 解：(1) 解法一：(学生口答) 设圆心 C(a，b)、半径 r，则由 C 为 P P 的中点得： 又由两点间的距离公式得： ∴所求圆的方程为：(x-5) +(y-6) =10 解法二：(给出板书) ∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点 P(x，y)，有 PP ⊥PP ． 化简得：x +y -10x-12y+51=0． 即(x-5) +(y-6) =10 为所求圆的方程． 解(2)：(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离： 因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内． 点评：1．求圆的方程的方法 (1)待定系数法，确定 a，b，r； (2)轨迹法，求曲线方程的一般方法． 2 2 2 2 2 2 5 7 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r： (1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 d＞r； (3)点在圆内 d＜r． 变式训练２：求证：以 A(x ，y )、B(x ，y )为直径端点的圆的方程为 (x-x )(x-x )+(y-y )(y-y )=0． 证明：略． （四）反馈测试 导学案当堂检测 　　（五）总结反思、共同提高 1．圆的方程的推导步骤； 2．圆的方程的特点：点(a，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法． 【板书设计】 探究一：圆的标准方程 1．建系设点 2．写点集 3．列方程 4．化简方程 探究二：圆的方程形式特点 例 1　 变式训练１ 例２　 变式训练２ 课堂小结 【作业布置】 导学案课后练习与提高 4.１.1　圆的标准方程 课前预习学案 一．预习目标 回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程． 二．预习内容 1 1 2 2 1 2 1 2 1：圆的定义是怎样的？ 2：圆的特点是什么？ 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课 内探究学案 一．学习目标 １．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的 标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一 些简单的实际问题． ２．通过圆的标准方程的推导，培 养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际 问题 的能力． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服 务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思 想教育． 学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具 体条件正确写出圆的标准方程． 学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 二．学习过程 探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点 2．写点集 3．列方程 4．化简方程 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例 1　 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板) (1)圆心在原点，半径是 3； (3)经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3) +(y-2) =5； (2)(x+4) +(y+3) =7； (3)(x+2) + y =4 例２　(1)已知两点 P (4，9)和 P (6，3)，求以 P P 为直径的圆的方程；(2)试判断 点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 变式训练２：求证：以 A(x ，y )、B(x ，y )为直径端点的圆的 方程为 (x-x )(x-x )+(y-y )(y-y )=0． 三．反思总结 圆的定义 几何特征 方程特征 待定系数法法 轨迹法法 四．当堂检测 １．圆(x＋1)2+(y－2)2=4 的圆心、半径是 （ ） A．(1,－2),4 B．(1,－2),2 C．(－1,2),4 D．(－1,2),2 ２．过点 A(4,1)的圆 C 与直线 相切于点 B(2,1) ． 则 圆 C 的 方 程 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 0x y− − = 为 . 3．一个等腰三角形底边上的高等于 5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的 外接圆的方程． 参考答案:１．Ｄ　　２． 　　 课后练习与提高 １．圆 的周长是（　　　） Ａ． 　　　Ｂ． 　　　Ｃ．２ 　　　Ｄ． 　 ２．点Ｐ（ ）与圆 的位置关系是( ) Ａ．在圆外　　　　Ｂ．在圆内　　　　Ｃ．在圆上　　　　Ｄ．不确定 ３．已知圆Ｃ与圆 关于直线 对称，则圆Ｃ的方程为（　　　） Ａ． 　　　　　　　Ｂ． 　　 Ｃ． 　　　　　　　Ｄ． ４．已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 ． ５.已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0 相切，则圆 O 的方程是 　　　． ６．赵州桥的跨度是 37.4m，圆拱高约为 7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程． 2 2( 3) 2x y− + = 2)1()1( 22 =++− yx π2 π2 π2 π4 5,2m 2422 =+ yx 1)1( 22 =+− yx xy −= 1)1( 22 =++ yx 122 =+ yx 1)1( 22 =++ yx 1)1( 22 =−+ yx 2