高中数学必修2教案：空间中的垂直关系(1) 2页

空间中的垂直关系（1）‎ 教学目标：1、直线与平面垂直的概念 ‎ 2、直线与平面垂直的判定与性质 教学重点：直线与平面垂直的判定与性质 教学过程：‎ （一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直 （二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直 （三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面 （四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直 （五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 （六） 直线与平面垂直的性质：‎ ‎（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线 ‎（2）垂直于同一平面的两条直线平行 （七） ‎（1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个 ‎（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个 （八） 例子与练习 例1 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证：AB⊥CD 证明：如图9-15，设CD中点为E，连接AE、BE，‎ 因为ΔACD为等腰三角形,‎ 所以AE⊥CD;‎ 同理BE⊥CD.‎ 所以CD⊥平面ABE,‎ 所以CD⊥AB.‎ 例2 已知VC是ΔABC所在平面的斜线，V在平面ABC上的射影为N，N在ΔABC的高CD上，M是VC上的一点，∠MDC=∠CVN,求证：VC⊥平面AMB 证明:如图9-16，因为∠MDC=∠CVN,且∠VNC=,‎ 所以∠DMC=,‎ 即VC⊥MD.‎ 又VN⊥AB,CD⊥AB 所以AB⊥平面VCN 所以VC⊥AB，‎ 所以VC⊥平面AMB.‎ 例3 如图9-18,已知AP是∠ABC所在平面的斜线,PO是∠ABC所在平面的垂线,垂足为O.‎ ‎(1)若P到∠BAC两边的垂线段PE、PF的长相等，求证：AO是∠BAC的平分线.‎ ‎(2)若∠PAB=∠PAC,求证：AO是∠BAC的平分线.‎ 证明：（1）连OE、OF，‎ 因为PE⊥AB，PF⊥AC，‎ 由三垂线定理的逆定理知：‎ OE⊥AB，OF⊥AC，‎ 由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO 所以AO是∠BAC的平分线.‎ ‎（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,‎ 垂足为E、F，‎ 因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，‎ 则PE＝PF.‎ ‎（以下同（1））‎ 课堂练习：教材第55页 练习A、B 小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A：13、14、15‎