【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第3讲　圆的方程学案 13页

第3讲　圆的方程 一、知识梳理 ‎1．圆的方程 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)‎ 圆心(a，b)‎ 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ 条件：D2＋E2－4F>0‎ 圆心： 半径：r＝ ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ 常用结论 ‎1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ ‎2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．‎ 二、教材衍化 ‎ ‎1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标 ，半径 ．‎ 答案：(1，－2)　 ‎2．若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为 ．‎ 答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18‎ ‎3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 ．‎ 答案：x2＋y2－2x＝0‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)‎ ‎(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)‎ ‎(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、易错纠偏 (1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F>0；‎ ‎(2)错用点与圆的位置关系判定．‎ ‎1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)‎ A.1‎ C．m< D．m>1‎ 解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.‎ ‎2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是 ．‎ 解析：因为点(1，1)在圆的内部，‎ 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，‎ 所以－12，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.‎ 答案：－2‎ ‎　　　　　　与圆有关的轨迹问题(师生共研)‎ ‎ 已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎【解】　(1)设AP的中点为M(x，y)，‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ 与圆有关的轨迹问题的四种求法 ‎　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：‎ ‎(1)直角顶点C的轨迹方程；‎ ‎(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．‎ 解：(1)法一：设C(x，y)，‎ 因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.‎ 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，‎ 又kAC＝，kBC＝，‎ 所以·＝－1，‎ 化简得x2＋y2－2x－3＝0.‎ 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．‎ 法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．‎ 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，‎ 所以x0＝2x－3，y0＝2y.‎ 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，‎ 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，‎ 即(x－2)2＋y2＝1.‎ 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16‎ 解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.‎ ‎2．(2020·河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)‎ A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0‎ C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0‎ 解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C.‎ ‎3．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.由题意得 即或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎4．(2020·河南焦作模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2 ‎ C．1＋ D．2＋2 解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.‎ ‎5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析：选A.设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．‎ 解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，‎ 解得a＝2或a＝－1.‎ 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．‎ 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，‎ 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，‎ 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．‎ 答案：(－2，－4)　5‎ ‎7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为 ．‎ 解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.‎ 答案：(x＋1)2＋y2＝20‎ ‎8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是 ．‎ 解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1，0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得 解得又因为圆的半径是1，‎ 所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.‎ 答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0‎ ‎9．求适合下列条件的圆的方程．‎ ‎(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；‎ ‎(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．‎ 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2.‎ 所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．‎ 所以半径r＝＝2，‎ 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ ‎(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.‎ 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.‎ ‎10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．‎ 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，‎ 则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，‎ 所以(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．‎ 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为 ．‎ 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ 因为△OPQ为直角三角形，‎ 所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎2．已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ．‎ 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故 解得故A′(－4，－2)．‎ 连接A′C交圆C于Q，由对称性可知 ‎|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.‎ 答案：2 ‎3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.‎ 因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，‎ 则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，‎ 过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.‎ ‎(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；‎ ‎(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．‎ 解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，‎ 解得a＝2或a＝，‎ 所以点P的坐标为(2，4)或.‎ ‎(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，‎ 整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，‎ 即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.‎ 由解得或 所以该圆必经过定点(0，4)和.‎