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- 2021-06-11 发布
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3.3.3两条直线的位置关系
―点到直线的距离公式
三维目标:
知识与技能:1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;
能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
教学重点:点到直线的距离公式
教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.
教学方法:学导式
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程
一、情境设置,导入新课:
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?
两条直线方程如下:
.
二、讲解新课:
1.点到直线距离公式:
点到直线的距离为:
(1)提出问题
在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为,直线=0或B=0时,以上公式,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P
到直线的距离呢?
学生可自由讨论。
(2)数行结合,分析问题,提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念,即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问题。
画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。
方案一:
设点P到直线的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二:设A≠0,B≠0,这时与轴、轴都相交,过点P作轴的平行线,交于点;作轴的平行线,交于点,
由得.
所以,|PR|=||=
|PS|=||=
|RS|=×||由三角形面积公式可知:·|RS|=|PR|·|PS|
所以
可证明,当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。
3.例题应用,解决问题。
例1 求点P=(-1,2)到直线 3x=2的距离。
解:d=
例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积。
解:设AB边上的高为h,则
S=
,
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=,
因此,S=
通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习:114页第1,2题。
4.拓展延伸,评价反思。
(1) 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为:,
:,则与的距离为
证明:设是直线上任一点,则点P0到直线
的距离为
又
即,∴d=
的距离.
解法一:在直线上取一点P(4,0),因为∥
例3 求两平行线:,:,所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二:∥又.
由两平行线间的距离公式得
四、课堂练习:
1, 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点(2,3),求该直线方程。
五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业:
13.求点P(2,-1)到直线2+3-3=0的距离.
14.已知点A(,6)到直线3-4=2的距离d=4,求的值:
15.已知两条平行线直线和的一般式方程为:,
:,则与的距离为
七.板书设计:略
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