2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业：第五章　数系的扩充与复数的引入 单元质量评估 9页

第五章单元质量评估 时限：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设 z1＝－3＋4i，z2＝2－3i，其中 i为虚数单位，则 z1＋z2在 复平面内对应的点位于( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵z1＝－3＋4i，z2＝2－3i， ∴z1＋z2＝－3＋4i＋2－3i＝－1＋i， ∴z1＋z2在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限，故选 B. 2．已知 i 为虚数单位，复数 z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|， 则实数 a的值为( C ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．±1或 0 解析：因为复数 z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以 a2＋4＝4 ＋1，解得 a＝±1，故选 C. 3．已知集合 A＝{1，m－1,2＋(m2－5m－6)i}，B＝{－2,2}，若 A∩B＝{2}，则实数 m的值为( C ) A．3 B．－1或 6 C．3或 6 D．－1或 3或 6 解析：因为 A∩B＝{2}，所以 2∈A且－2∉A， 从而有 m－1≠2， m－1≠－2， 2＋m2－5m－6i＝2， 或 2＋m2－5m－6i≠2， m－1＝2， 解得 m＝6或 m＝3. 4．已知 1－i2 z ＝1＋i(i为虚数单位)，则复数 z＝( D ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：由已知得 z＝1－i2 1＋i ＝ －2i 1＋i ＝ －2i1－i 1＋i1－i ＝ －2－2i 2 ＝－1－i. 5．原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆 命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B ) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设 z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|， 但是 z1与 z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为 假． 6．复数 2＋i 1－2i (i为虚数单位)的共轭复数是( C ) A．－ 3 5 i B.3 5 i C．－i D．i 解析：依题意得 2＋i 1－2i ＝ 2＋i1＋2i 1－2i1＋2i ＝ 5i 5 ＝i， 其共轭复数为－i，故选 C. 7．如果一个复数和它的模的和为 5＋ 3i，那么这个复数是 ( C ) A.11 5 B. 3i C.11 5 ＋ 3i D.11 5 ＋2 3i 解析：设这个复数为 a＋bi(a，b∈R)． 由题意得 a＋bi＋ a2＋b2＝5＋ 3i， 即 a＋ a2＋b2＋bi＝5＋ 3i， ∴ a＋ a2＋b2＝5， b＝ 3， 解得 a＝11 5 ， b＝ 3， ∴所求复数为 11 5 ＋ 3i. 8．如图，在复平面内，向量OP→对应的复数是 1－i，将OP→向左 平移一个单位长度后得到O0P0→ ，则 P0对应的复数为( D ) A．1－i B．1－2i C．－1－i D．－i 解析：∵O0P0→ ＝OP→＝(1，－1)， ∴OP0→ ＝OO0 → ＋O0P0→ ＝(－1,0)＋(1，－1)＝(0，－1)， ∴P0对应的复数即OP0→ 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 9．若 z＋ z ＝6，z· z ＝10，则 z＝( B ) A．1±3i B．3±i C．3＋i D．3－i 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，∴ 2a＝6， a2＋b2＝10， 解得 a＝3， b＝±1， 则 z＝3±i. 10．在复平面内ω＝－ 1 2 ＋ 3 2 i对应的向量为OA→，复数ω2对应的 向量为OB→ .那么向量AB→对应的复数是( D ) A．1 B．－1 C. 3i D．－ 3i 解析：ω2＝－ 1 2 － 3 2 i，对应向量OB→ ＝ － 1 2 ，－ 3 2 ，OA→ ＝ － 1 2 ， 3 2 ，AB→＝OB→－OA→＝(0，－ 3)，对应复数为－ 3i. 11．若 x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是( C ) A.1 2 ＋ 3 2 i B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D.1 2 ＋ 3 2 i 解析：令 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 a2＋b2＝1＋3i－a－bi，∴ a2＋b2＝1－a， 0＝3－b， 解得 a＝－4， b＝3， 故原方程的解为－4＋3i. 12．对于复数 a，b，c，d，若集合 S＝{a，b，c，d}具有性质“对 任意 x，y∈S，必有 xy∈S”，则当 a，b，c，d同时满足下列三个条 件：①a＝1；②b2＝1；③c2＝b时，b＋c＋d＝( B ) A．1 B．－1 C．0 D．i 解析：由题意知 b＝－1，c＝±i，当 c＝i时，满足性质“对任意 x，y∈S，必有 xy∈S”的 d＝－i；当 c＝－i时，d＝i.综上可知 c＋d ＝0，∴b＋c＋d＝－1. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案 填写在题中横线上) 13．复数 z＝2i2－3i的实部是－2. 解析：z＝2i2－3i＝－2－3i，∴实部为－2. 14．设复数 z满足 z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则 z的模为 5. 解析：因为 z2＝3＋4i，所以|z2|＝ 32＋42＝5， 所以|z|＝ 5. 15．关于实数 x的不等式 mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－ 1,2)，则复数 n＋pi对应的点位于复平面内的第二象限． 解析：∵mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)， ∴ m<0， －1＋2＝n m ， －1×2＝p m ， 即 n<0，p>0， ∴复数 n＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限． 16．复数 z1、z2分别对应复平面内的点 M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1 －z2|， 线段M1M2的中点M对应的复数为 4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝100. 解析：由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以线段 OM1、OM2为邻边的平行四 边形是矩形(O为坐标原点)，即∠M1OM2为直角，又M是斜边M1M2 的中点，|OM→ |＝ 42＋32＝5，所以|M1M2 → |＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝|OM1 → |2 ＋|OM2 → |2＝|M1M2 → |2＝100. 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10分)实数 m分别取什么数值时，复数 z＝m2＋5m＋6＋(m2 －2m－15)i： (1)与复数 2－12i相等？ (2)与复数 12＋16i互为共轭复数？ (3)在复平面内对应的点在 x轴上方？ 解：(1)根据复数相等的充要条件得 m2＋5m＋6＝2， m2－2m－15＝－12， 解得 m＝－1. (2)复数 12＋16i的共轭复数为 12－16i， 由题意得 m2＋5m＋6＝12， m2－2m－15＝－16， 即 m2＋5m－6＝0， m2－2m＋1＝0， 解得 m＝1.故当 m＝1 时，复数 z与复数 12＋16i互为共轭复数． (3)复数 z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i 在复平面内对应的点位 于 x轴上方，则 m2－2m－15>0，解得 m<－3或 m>5. 18．(12分)已知 1＋i是方程 x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)． (1)求 b，c的值； (2)试证明 1－i也是方程的根． 解：(1)∵1＋i是方程 x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即 b＋c＋(2＋b)i＝0， ∴ b＋c＝0， 2＋b＝0， ∴ b＝－2， c＝2. (2)证明：由(1)知方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i代入方程的左边 得，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， ∴1－i也是方程的根． 19．(12分)已知复数 z＝1＋i， (1)设ω＝z2＋3 z －4，求ω； (2)如果 z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i，求实数 a，b的值． 解：(1)∵z＝1＋i， ∴ω＝z2＋3 z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)由z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i， 把 z＝1＋i代入得 1＋i2＋a1＋i＋b 1＋i2－1＋i＋1 ＝1－i， ∴ a＋b＋a＋2i i ＝1－i， ∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i. ∴ a＋b＝1， a＋2＝1. 解得 a＝－1， b＝2. 20．(12分)已知复平面内▱ABCD，点 A对应的复数为 2＋i，BA→对 应的复数为 1＋2i，BC→对应的复数为 3－i. (1)求点 C，D对应的复数； (2)求▱ABCD的面积． 解：(1)∵BA→对应的复数为 1＋2i， BC→对应的复数为 3－i， ∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i， 又OC→＝OA→＋AC→ (O为坐标原点)， ∴点 C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 又BD→＝BA→＋BC→＝(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i， OB→＝OA→－BA→＝2＋i－(1＋2i)＝1－i， ∴OD→＝OB→＋BD→＝1－i＋(4＋i)＝5， ∴点 D对应的复数为 5. (2)∵BA→ ·BC→＝|BA→ ||BC→ |cosB， ∴cosB＝ BA→ ·BC→ |BA→ ||BC→ | ＝ 3－2 5× 10 ＝ 1 5 2 ， ∴sinB＝ 7 5 2 ， ∴S＝|BA→ ||BC→ |sinB＝ 5× 10× 7 5 2 ＝7. ∴▱ABCD的面积为 7. 21．(12分)已知复数 z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其 中 i为虚数单位，a∈R.若|z1－ z 2|<|z1|，求实数 a的取值范围． 解：由题意，得 z1＝ －1＋5i 1＋i ＝2＋3i， 于是|z1－ z 2|＝|4－a＋2i|＝ 4－a2＋4， |z1|＝ 13. 因为|z1－ z 2|<|z1|， 所以 4－a2＋4< 13， 即 a2－8a＋7<0， 解得 1