2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章　圆锥曲线与方程 单元质量评估（一） 11页

第二章单元质量评估(一) 时限：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶 点是(－10,0)，则焦点坐标为( D ) A．(±13,0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，± 69) 解析：由题意知椭圆的焦点在 y 轴上，且 a＝13，b＝10，则 c＝ a2－b2＝ 69，故焦点坐标为(0，± 69)． 2．已知焦点在 y 轴上的椭圆x2 9 ＋ y2 m＋9 ＝1 的离心率为1 2 ，则 m＝ ( A ) A．3 B．3 或－9 4 C．－9 4 D．6 3－9 解析：根据题意，1 2 ＝ m m＋9 ，解得 m＝3. 3．若△ABC 的两个顶点坐标为 A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长 为 18，则顶点 C 的轨迹方程为( A ) A.x2 25 ＋y2 9 ＝1(y≠0) B.x2 9 ＋y2 25 ＝1(y≠0) C.x2 16 ＋y2 9 ＝1(y≠0) D.x2 9 ＋y2 16 ＝1(y≠0) 解析：由题意得|CA|＋|CB|＝10>|AB|，所以顶点 C 的轨迹是以 A， B 为焦点，且 a＝5 的椭圆．又因为 A，B，C 三点不共线，所以顶点 C 的轨迹方程为x2 25 ＋y2 9 ＝1(y≠0)． 4．若双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲 线的离心率为( D ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，点(3，－4) 在渐近线上，∴b a ＝4 3 ，又 a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋16 9 a2＝25 9 a2， ∴e＝c a ＝5 3. 5．双曲线x2 m －y2 n ＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则 mn 的值为( A ) A. 3 16 B.3 8 C.16 3 D.8 3 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，故双曲线x2 m －y2 n ＝1 中，m>0， n>0 且 m＋n＝c2＝1 ①，又 e＝ c m ＝ m＋n m ＝2 ②，联立方程① ②，解得 m＝1 4 ，n＝3 4.故 mn＝ 3 16. 6．已知 F1，F2 为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个焦点，过 F2 作椭 圆的弦 AB，若△AF1B 的周长为 16，椭圆的离心率 e＝ 3 2 ，则椭圆的 方程是( D ) A.x2 4 ＋y2 3 ＝1 B.x2 16 ＋y2 3 ＝1 C.x2 16 ＋y2 12 ＝1 D.x2 16 ＋y2 4 ＝1 解析：由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又 e ＝c a ＝ 3 2 ，∴c＝2 3，∴b2＝42－(2 3)2＝4， ∴椭圆的方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1. 7．已知 F 是抛物线 y＝1 4x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 线段 PF 中点的轨迹方程是( A ) A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ 1 16 C．x2＝y－1 2 D．x2＝2y－2 解析：焦点为 F(0,1)，设 P(p，q)，则 p2＝4q.设 Q(x，y)是线段 PF 的中点，则 x＝p 2 ，y＝q＋1 2 ，即 p＝2x，q＝2y－1，代入 p2＝4q 得，(2x)2＝4(2y－1)，即 x2＝2y－1. 8．已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为( D ) A. 5 B．2 C. 3 D. 2 解析： 设双曲线方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)，不妨设点 M 在双曲线的 右支上，如图所示，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，过点 M 作 MH ⊥x 轴于点 H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝ 3a，所以 M(2a， 3a)．将点 M 的坐标代入双曲线方程x2 a2－y2 b2＝1，得 a＝b，所以 e＝ 2. 9．椭圆 4x2＋9y2＝144 内有一点 P(3,2)，设某条弦过点 P，且以 P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为( B ) A．3x＋2y－12＝0 B．2x＋3y－12＝0 C．4x＋9y－144＝0 D．9x＋4y－144＝0 解析：设满足题意的直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 4x21＋9y21＝144， 4x22＋9y22＝144. 两式相减得 4(x21－x22)＋9(y21－y22)＝0，即y1－y2 x1－x2 ＝－4x1＋x2 9y1＋y2 ＝－2 3. 由此可得所求的直线方程为 y－2＝－2 3(x－3)，即 2x＋3y－12＝ 0. 10．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，双曲线 x2－ y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形 的面积为 16，则椭圆 C 的方程为( D ) A.x2 8 ＋y2 2 ＝1 B.x2 12 ＋y2 6 ＝1 C.x2 16 ＋y2 4 ＝1 D.x2 20 ＋y2 5 ＝1 解析：因为椭圆的离心率为 3 2 ，所以 e＝c a ＝ 3 2 ，c2＝3 4a2＝a2－ b2，所以 b2＝1 4a2，即 a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为 y＝±x，代入椭 圆方程得x2 a2＋x2 b2＝1，即 x2 4b2＋x2 b2＝5x2 4b2＝1，所以 x2＝4 5b2，x＝± 2 5b.所 以 y＝± 2 5b.则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为 2 5b， 2 5b ，所以四边形的面积为 4× 2 5b× 2 5b＝16 5 b2＝16，所以 b2 ＝5，所以椭圆 C 的方程为x2 20 ＋y2 5 ＝1，故选 D. 11．设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，A 是抛 物线上的一点，FA→与 x 轴正向的夹角为 60°，则|OA→ |＝( B ) A.21 4 p B. 21 2 p C. 13 6 p D.13 36p 解析：易知 F p 2 ，0 .设 A(x0，y0)，则FA→＝ x0－p 2 ，y0 .x 轴方向上 的单位向量为 i＝(1,0)， 由夹角为 60°，得 cos60°＝ FA→·i |FA→||i| ＝ x0－p 2 x0－p 2 2＋y20 ， 将 y20＝2px0 代入上式并化简，得 x0－p 2 x0＋p 2 ＝1 2 ，解得 x0＝3p 2 ，y20＝3p2. 故|OA→ |2＝x20＋y20＝9p2 4 ＋3p2＝21p2 4 ，|OA→ |＝ 21p 2 . 12．已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位 于 x 轴的两侧，OA→ ·OB→ ＝2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( B ) A．2 B．3 C.17 2 8 D. 10 解析：设 AB 所在直线方程为 x＝my＋t. 由 x＝my＋t， y2＝x， 消去 x，得 y2－my－t＝0. 设 A(y21，y1)，B(y22，y2)(不妨令 y1>0，y2<0)，故 y1＋y2＝m，y1y2 ＝－t. 而OA→ ·OB→ ＝y21y22＋y1y2＝2. 解得 y1y2＝－2 或 y1y2＝1(舍去)． 所以－t＝－2，即 t＝2. 所以直线 AB 过定点 M(2,0)． 而 S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝1 2|OM||y1－y2|＝y1－y2， S△AFO＝1 2|OF|×y1＝1 2 ×1 4y1＝1 8y1，故 S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋1 8y1 ＝9 8y1－y2. 由 9 8y1－y2＝9 8y1＋(－y2)≥2 9 8y1×－y2＝2 9 8 ×2＝3， 得 S△ABO＋S△AFO 的最小值为 3，故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．已知以原点 O 为中心，F( 5，0)为右焦点的双曲线 C 的离 心率 e＝ 5 2 ，则双曲线 C 的标准方程为x2 4 －y2＝1，渐近线方程为 x－ 2y＝0 和 x＋2y＝0. 解析：设双曲线 C 的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)，则由题意 知 c＝ 5，又 e＝c a ＝ 5 2 ，因此 a＝2，b＝ c2－a2＝1.故双曲线 C 的标 准方程为x2 4 －y2＝1，双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±1 2x，即 x－2y＝0 和 x＋2y＝0. 14．如图，过直线 y＝2 与抛物线 x2＝8y 的两个交点，并且与抛 物线的准线相切的圆的方程为 x2＋(y－2)2＝16. 解析：依题意，抛物线 x2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，准线 y＝－ 2 与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为 2－(－2)＝4， 故圆的方程为 x2＋(y－2)2＝16. 15．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)与双曲线x2 m2－y2 n2＝1(m>0，n>0)有 相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a 与 m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是1 2. 解析：由题意，得 c2＝am， 2n2＝2m2＋c2， c2＝m2＋n2， 消去 m，n 得 4c2＝a2，故 椭圆的离心率 e＝c a ＝1 2. 16．已知椭圆 C 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个 焦点与抛物线 y2＝8x 的焦点重合；过点 M(1,1)且斜率为－1 2 的直线交 椭圆 C 于 A，B 两点，且 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的方程为x2 8 ＋y2 4 ＝1. 解析：焦点坐标为(2,0)． 设椭圆 方程为 x2 a2 ＋ y2 a2－4 ＝1，设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2)，则 x21 a2＋ y21 a2－4 ＝1， ① x22 a2＋ y22 a2－4 ＝1， ② ②－①得，x2＋x1x2－x1 a2 ＝－y2＋y1y2－y1 a2－4 . ③ ∵y2＋y1 x2＋x1 ＝1，y2－y1 x2－x1 ＝－1 2 ，∴代入③式解得 a2＝8. ∴b2＝a2－c2＝4，∴所求椭圆方程为：x2 8 ＋y2 4 ＝1. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上， 若右焦点到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3，求椭圆的标准方程． 解：依题意，设椭圆的方程为x2 a2＋y2＝1. 设右焦点为(c,0)，则|c＋2 2| 2 ＝3，∴c＝ 2，a2＝b2＋c2＝3，∴ 椭圆方程为x2 3 ＋y2＝1. 18．(12 分)抛物线 y＝－x2 2 与过点 M(0，－1)的直线 l 相交于 A， B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 和 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程． 解：设直线方程为 y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 y＝kx－1， y＝－x2 2 ， 得 x2＋2kx－2＝0， ∴Δ＝(2k)2－4×(－2)＝4k2＋8>0，∴x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2， 又 1＝y1 x1 ＋y2 x2 ＝kx1－1 x1 ＋kx2－1 x2 ＝2k－x1＋x2 x1x2 ＝2k－k＝k，即 k＝1， 故所求直线方程为 y＝x－1. 19．(12 分)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右 焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直．直线 MF1 与 C 的另一个交 点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为3 4 ，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b. 解：(1)根据 c＝ a2－b2及题设知 M c，b2 a ， b2 a 2c ＝3 4 ，2b2＝3ac. 将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac，解得c a ＝1 2 ，c a ＝－2(舍去)． 故 C 的离心率为1 2. (2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2 a ＝4， 即 b2＝4a. ① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|， 设 N(x1 ， y1) ， 由 题 意 知 y1<0 ， 则 2－c－x1＝c， －2y1＝2， 即 x1＝－3 2c， y1＝－1， 代入 C 的方程，得9c2 4a2＋ 1 b2＝1. ② 将①及 c＝ a2－b2代入②得9a2－4a 4a2 ＋ 1 4a ＝1. 解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7. 20．(12 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，点(2， 2)在 C 上． (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘 积为定值． 解：(1)由题意，得 a2－b2 a ＝ 2 2 ，又点(2， 2)在 C 上，所以 4 a2＋ 2 b2＝1，两方程联立，可解得 a2＝8，b2＝4. 所以 C 的方程为x2 8 ＋y2 4 ＝1. (2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x2 8 ＋y2 4 ＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋x2 2 ＝ －2kb 2k2＋1 ，yM＝kxM＋b＝ b 2k2＋1. 所以直线 OM 的斜率 kOM＝yM xM ＝－ 1 2k ，所以 kOM·k＝－1 2. 故直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 21．(12 分)设抛物线 y2＝4ax(a>0)的焦点为 A，以点 B(a＋4,0)为 圆心，|AB|为半径，在 x 轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的 两点 M，N，P 为线段 MN 的中点． (1)求|AM|＋|AN|的值； (2)试问：是否存在实数 a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若 存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 解： (1)如图所示，设 M，N，P 在抛物线的准线上的射影分别为 M1， N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝xM＋xN＋ 2a. 因为抛物线 y2＝4ax(a>0)的焦点为 A，所以点 A 的坐标为(a,0)．又 B(a＋4,0)，所以|AB|＝4. 所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将 y2＝4ax 代入，化简得 x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以 xM＋xN＝2(4－a)，故|AM|＋|AN|＝8. (2)假设存在满足条件的实数 a，则 2|AP|＝|AM|＋|AN|. 因为|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝2|PP1|，所以|AP|＝|PP1|. 由抛物线的定义知：点 P 必在抛物线上，这与点 P 是弦 MN 的 中点矛盾．因此，不存在满足条件的实数 a. 22．(12 分)设椭圆 E：x2 a2＋ y2 1－a2 ＝1 的焦点在 x 轴上． (1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上的第一 象限内的点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1P⊥F1Q，证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上． 解：(1)因为 a2>1－a2,2c＝1，a2＝1－a2＋c2，则 a2＝5 8 ，1－a2＝3 8 ， 所以椭圆 E 的方程为8x2 5 ＋8y2 3 ＝1. (2)证明：设 F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，Q(0，m)，则F2P→ ＝(x －c，y)，QF2 → ＝(c，－m)，F1P→ ＝(x＋c，y)，F1Q→ ＝(c，m)． 由F2P→ ∥QF2 → ，F1P→ ⊥F1Q→ ，得 mc－x＝yc， cx＋c＋my＝0， 所以(x－c)(x＋ c)＝y2，即 x2－y2＝c2. 由椭圆 E 的方程可知，c2＝a2－(1－a2)＝2a2－1，所以 x2－y2＝ 2a2－1，即 y2＝x2－2a2＋1. 将上式代入椭圆 E 的方程，得x2 a2＋x2－2a2＋1 1－a2 ＝1，解得 x2＝a4. 因为点 P 是第一象限内的点，所以 x＝a2，y＝1－a2. 故点 P 在定直线 x＋y＝1 上．