【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第五章第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案 16页

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．‎ 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝．‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎ (教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底(　　)‎ A．e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)‎ C．e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)‎ D．e1＝(3，0)，e2＝(4，0)‎ 解析：选B．对于A，e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B．‎ ‎ 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4)　　　　　　　 B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ 解析：选A．法一：设C(x，y)，‎ 则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，‎ 所以 从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A．‎ 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．‎ 故选A．‎ ‎ (教材习题改编)向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________．‎ 解析：由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)．‎ 答案：(－3，4)‎ ‎ (教材习题改编)已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________．‎ 解析：＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，‎ ＝(－7，t)－(1，4)＝(－8，t－4)．‎ 因为与共线，‎ 所以4(t－4)－4×(－8)＝0.‎ 即4t＋16＝0，所以t＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎ (教材习题改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．‎ 解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 答案：(1，5)‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎[典例引领]‎ ‎ 如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ ‎【解】　因为＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，所以＝＋＝a＋b.‎ 因为＝a＋b，‎ 所以＝＋＝＋＝＝a＋b，‎ 所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 ‎(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎[注意]　在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a＋b　　　　　　 B．－a＋b C．a－b D．－a－b 解析：选A．由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．‎ ‎2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．‎ ‎(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；‎ ‎(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．‎ 解：(1)因为＝2，所以＝，‎ 所以＝(－)＝－，‎ 又因为＝r＋s，‎ 所以r＝，s＝－，‎ 所以r＋s＝0.‎ ‎(2)因为四边形OABP为平行四边形，‎ 所以＝＋，‎ 又因为＝m＋，‎ 所以＝＋(m＋1)，‎ 依题意，是非零向量且不共线，‎ 所以m＋1＝0，‎ 解得m＝－1.‎ 平面向量的坐标运算(高频考点)‎ 平面向量的坐标运算是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，涉及向量坐标的线性运算及数量积运算，难度适中．主要命题角度有：‎ ‎(1)已知向量的坐标进行坐标运算；‎ ‎(2)解析法(坐标法)在向量中的应用．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　已知向量的坐标进行坐标运算 ‎ (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)‎ A．(－23，－12) B．(23，12)‎ C．(7，0) D．(－7，0)‎ ‎(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎(3)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．‎ ‎【解析】　(1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．‎ ‎(2)由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ 则解得故m－n＝－3.‎ ‎(3)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝，‎ 所以λ＋μ＝－1.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)－3　(3)－1‎ ‎ 角度二　解析法(坐标法)在向量中的应用 ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【解析】　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P(1＋cos θ，2＋sin θ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A．‎ ‎【答案】　A ‎(1)向量坐标运算的策略 ‎①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．‎ ‎②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．‎ ‎③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．‎ ‎(2)向量问题坐标化 当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)‎ A． B． C．(3，2) D．(1，3)‎ 解析：选A．设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4，3)，又＝2，所以所以故选A．‎ ‎2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．‎ 解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.‎ 答案：4‎ ‎3.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ 解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，‎ 设∠AOC＝α，‎ 则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin∈，故x＋y的最大值为2.‎ 平面向量共线的坐标表示(高频考点)‎ 平面向量共线的坐标表示也是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题．主要命题角度有：‎ ‎(1)利用向量共线求向量或点的坐标；‎ ‎(2)利用向量共线求参数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　利用向量共线求向量或点的坐标 ‎ 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．‎ ‎【解析】　法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．‎ 又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，‎ 所以P点的坐标为(3，3)．‎ 法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以P点的坐标为(3，3)．‎ ‎【答案】　(3，3)‎ ‎ 角度二　利用向量共线求参数 ‎ 已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A．k＝－2　　　　　　　　 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1‎ ‎【解析】　若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，因为＝－＝(2，‎ ‎－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.‎ ‎【答案】　C 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 ‎(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．‎ 解析：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．‎ 答案：(2，4)‎ ‎2．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．‎ 解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，‎ 又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，‎ 即整理得2a＋b＝2，‎ 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋.‎ 答案：＋ ‎ 对平面向量基本定理的理解 ‎(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，‎ 也是向量的坐标表示的基础．‎ ‎(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．‎ ‎(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．‎ ‎ 向量共线的作用 向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎ 向量坐标运算应注意的两个易误点 ‎(1)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．　　　 ‎ ‎1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则等于(　　)‎ A．b－a　　　　　　　 B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析：选A．＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－3 D．－1‎ 解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.‎ ‎3.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 解析：选A．如图所示，建立平面直角坐标系，‎ 则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．‎ 因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，‎ 所以解得所以λ＋μ＝2.故选A．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2 B． C．2 D．4 解析：选A．因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(4，＋∞)‎ C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C．平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．‎ ‎6．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．‎ 解析：由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，‎ b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．‎ 答案：－2‎ ‎7．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．‎ 解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎8．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又与不共线，‎ 所以解得，‎ 所以λ＋μ＝.‎ 答案： ‎9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M、N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．‎ 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．‎ ‎10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．‎ 解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C 所以＝，＝.‎ 又＝x＋y，‎ 所以＝x(－1，0)＋y.‎ 所以，解之得，‎ 所以x＋y＝－＝－.‎ ‎1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)‎ A．(2，0)　　　　　　　 B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(0，2)‎ 解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ ‎2.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－1，0)‎ 解析：选D.由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－·(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．‎ ‎3．设P是△ABC内一点，且＋＋＝0，＝，则＋＝________．‎ 解析：因为＝－，＝－，＋＋＝0，所以3＝＋，即＝＋.‎ 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以＋＝＋.‎ 答案：＋ ‎4.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．‎ 解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，因为＋2＋3＝0，所以2＋4＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.‎ 答案：3∶2‎ ‎5．(2017·高考江苏卷改编)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．‎ 解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，‎ 即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.‎ ‎6.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．M为AB的中点．‎ ‎(1)设＝λ，将用λ，，表示；‎ ‎(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．‎ 解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.‎ ‎(2)证明：由(1)得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①‎ 因为G是△OAB的重心，‎ 所以＝＝×(＋)＝＋.②‎ 而，不共线，‎ 所以由①②，得解得 所以＋＝3(定值)．‎